余弦定理、正弦定理、海伦公式：从基础到应用
余弦定理、正弦定理、海伦公式：从基础到应用
余弦定理、正弦定理和海伦公式是勾股定理的延伸，它们在数学、物理、工程、导航等多个领域都有广泛的应用。本文将通过简单的图形和通俗易懂的语言，为您介绍这些定理的原理和实际应用场景。
余弦定理
我们先来画一个三角形，它分别有三个边，abc，如图所示。它同时也有三个角，1.2.3。现在咱们做个垂线，让AD垂直BC，垂点是D。好，△ABC被分成了两个直角三角形。
这就是余弦定理，当我们知道了2个边，和它们的夹角，就能算出第三边。相应的还有以下边角关系。
这个定理在做题中没太多用处，但在生活中应用很广，很重要。比如测距。在地图上测量距离，在导航时计算航线和位置。在物理中计算受力，进一步延伸到工程上，计算桥梁受力。还可以计算向量之间的角度——这一点在互联网分类方面很有用。如果把一组信息抽象为一组向量，另一组信息抽象成另一组向量。两组向量之间的夹角可算，如果夹角大，就说明两个信息的相关度不大。如果夹角小，就说明两个信息的相关度不大。于是，一个人的网络画像，一个产品跟什么样的人群相关，就可以计算了。
正弦定理
下面再说正弦定理。这次我们画一个△ABC，然后画它的外接圆，以外接圆的半径CD，再跟B点相连，就有了另外一个三角形。既然CD等于直径，那么圆周角DBC就是90度。
也就是说，三角形的边与对标的正弦比是定值。在求边和求正弦值的时候，这个公式在题目中会有用。在生活中，应用更广泛。比如建筑中用来计算建筑物之间的夹角和距离。在测距领域，用来计算地球上不同地点之间的夹角。甚至可应用到宇宙中，测算天体之间的距离和角度。导航的时候，配合余弦定理用来测算角度和距离。其实导航员知道原理，现在他们不用自己算，有电脑程序。
海伦公式
我们再画一个三角形，知道它的三边长，abc，我们通过余弦定理可以推出，下面的边角关系。
也就是说，我们根本不用做垂线，知道三边边长，就可以求三角形面积。做数学题时，我没少用这个公式，很方便。由于很多不规则形状都可以拆分成三角形，所以，在建筑中，在测量中，不规则形状的面积可以用这个公式近似计算。也可以让计算机用海伦公式来画图，用来做测绘。
总结
你看，简单的三角形，能够延伸这么多。所以初中考试的一个重点就是“解三角形”，用处太大了。其实还有好多，只是我没有写。如果你感兴趣，有一本书叫《挑战极限思维：勾股定理的365种证明》，可以买来看看。这里面有各种三角形知识，也涉及好多数学分析方法。不仅能对三角形了解得更透彻，也是解题思维的一种提升。