你真的懂“四舍五入”？不，你只是会做题

你真的懂“四舍五入”？不，你只是会做题

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腾讯

1.

https://new.qq.com/rain/a/20240912A048JE00

四舍五入是我们日常生活中经常接触到的数学概念，但你真的理解它的本质吗？本文将带你重新认识四舍五入，从数学定义到实际应用，深入探讨这个看似简单却蕴含深刻道理的数学概念。

四舍五入的准确定义

在数学上的准确定义是：
将一个自然数n四舍五入到x位，就是将n替换为x的所有倍数中，离n最近的那个倍数。

下面说人话。

369，四舍五入到十位

就是将369替换为10的所有倍数中，离369最近的那个。
369附近10的倍数，
300，310，320，330，340，350，360,370……
好，那就是370喽。

455，四舍五入到十位

就是将455替换为10的所有倍数中，离455最近的那个。
455附近10的倍数，
400，410，420，430，440，450，460，470……
两个，450，460都很近，
课本上要求我们选比较大的那个，460。

5120，四舍五入到千位

就是将5120替换为1000的所有倍数中，离5120最近的那个。
5120附近1000的倍数，
4000，5000，6000……，最近的当然是5000。

现在你明白了，同时你也会鄙夷：
书上教的比这简单多了！
你确定？

有歧义

教科书上的是操作方法。
要把一个数四舍五入到某一位时（以十位为例）这么操作：

• 如果个位≥5，那么将个位替换为0，十位+1；
• 如果个位≤4，那么将个位替换为0。

按照这个操作方法，试试18995这个数。

• 四舍五入到十位；
  个位是5，十位+1，然后呢？
  ——牵扯到连续进位，小孩子容易迷糊。
• 四舍五入到千位；
  把百位替换为0，千位+1，其他位呢？
  这不，歧义就出来了——数学容不得歧义，数学要求精确。
  所以，我们需要一个准确的定义。
  按照我们上面说的定义，将18995四舍五入到十位：
  把18995替换成所有10的倍数里，离18995最近的。
  18980，18990，19000，19010……，最近的是19000。
  这样连续进位有了，其他位该怎么处理，也有了。

扩展

其实这个定义不仅适合自然数，还能扩展到小数。
一个小数，比如38.6792,四舍五入到百分位
就是将38.6792替换成0.01的所有自然数倍数中，离38.6792最近的。
38.65、38.66、38.67、38.68……那就是38.68喽
只不过

• 自然数是十位、百位、千位……的自然数倍数。
• 而小数是十分位、百分位、千分位……的自然数倍数。
  
  或许小孩子不理解这些。
  最终通过讲题、示范，小学生也能学会正确估算。
  但数学追求精确、这样定义，能把底层逻辑说清楚，触达更多知识点。
  我们说的是往前一步，给孩子拓展一下。
  或者：
• 你自己要知道是怎么回事，
• 知道小数学数学背后的大道理。

好
现在我们已经明确了定义、学会了如何做估算题目，
可还有一个问题我们没有解决——
为什么要四舍五入？
换个问法就是：精确不好吗？

精确不好

四舍五入就是用估计值代替真实值。
在数学上、在生活中，我们都允许估计。
是因为：

• 1、我们永远无法精确
  你永远都测不准：
• 工具有误差
• 操作有误差
• 标准不同结果也不同
  就像一根绳子：
• 一分钟版本是拉直了对比一下尺子，1米
• 费劲点用激光测，是1.02378米
• 而数学家却告诉你绳子的长度是无穷
  我们怎么办？纠结于此？
  不，日子还得过。
  差不多得了，能满足需求就行。
  其实，
  无论现在你取什么样的值，
  无论你取的是小数点后几位，
  都是一个估计值——精确是做不到的。
• 2 精确，也没有必要
  生活中我们说的都是估计值
  你可以跟别人说温度适宜，没见过说温度是35.4327度的
  况且这个35.4327度也只是个近似值。
  人对精确也不敏感
  当你跟别人说这个工程总花费30288597342元，对方肯定一脸懵。
  说成大概303亿，对方就明白是怎样一个量级了。
  也就是说：
• 我们人类对世界的认识是模糊的；
• 模糊度不同而已，绝大多数情况下，够用即可。
  再说估算的误差也不大，而且数越大，误差越可以忽略。

误差

• 很多时候，我们只需感知到一个模糊的量级。
  “你这件衣服多少钱？”
  “大概200块”。
  可能这件衣服是196，四舍五入到200.
  说196人需要反应一会儿
  说200更直观。
  这样的误差我们不会在意。
  特别是大数。
  这片森林到底有多少棵树？
  大概500万棵。
  有个模糊的量级就可以了，我们不需要知道得特别清楚——
  如果一个人说得特别精确
  那往往是个【梗】。
  
• 估算的相对误差挺小的
  拿一个计算题，4257+3461来说，
  把这两个4位数，故四舍五入到百位。
  得数是7800，减去准确值7718等于82.
  82÷7718=1%（求出相对误差）
  这点相对误差是非常小的。
  况且四舍五入到十位，相对误差会更小。
  我们可以根据需求调整四舍五入的位置。
  至于大数
  比如8亿，如果它是一个近似数
  那么原来它可能最大是799999999，最小是750000000，
  按最小的来，两者相差50000000,
  绝对误差是50000000÷750000000=6.7%。
  一个数忽略了后面那么多位，相对误差还在8%以内，
  这对于我们感知量级，没有影响。

补充

估算的应用很广泛，四舍五入只是操作方法。
操作方法不重要，我们能用操作方法做什么才重要。

• 估计数
  这是最直接的应用
  说白了就是衡量一个数的量级
  给人提供快速的参考。
  这份工作的工资有小一万，
  ——那不错，可以干。
  这件衣服要上千，
  ——有点贵，不买。
  这个工程报价大概是8亿
  ——我们考虑一下。
  这个应用在生活中无处不在。
• 运算
  下面哪个数跟127+284最接近？——用估算。
  你去超市带了15块钱，要买的东西价格分别是1.25、3.25、1.39、0.99、1.49、2.42、2.79，钱够不够？——用估算。
  四舍五入取整数，能快速感知。
  这一点不仅在生活中实用，在做题上也实用
  （小学数学就有这样的题目）。
  当你能够把一个数四舍五入为整十整百，
  然后在大脑中进行衡量估计，
  放心，你的数感也会越来越好。

好了，这就是本期的分享了。
下面做个总结：

• 我们讲了四舍五入的准确定义是，一个自然数n四舍五入到x位，就是将n替换为x的所有倍数中，离n最近的那个倍数。
• 接着我们解释了定义，并讲解了数学上准确的重要性。
• 我们扩展到小数的四舍五入，把估算统一起来。
• 最后我们讨论了为什么不追求精确，以及估算的应用。
  信息量还是比较大的，建议反复看几次，会有更深的理解。