树形DP讲解

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@小白创作中心

树形DP讲解

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CSDN

https://m.blog.csdn.net/NiNg_1_234/article/details/143442136

树形动态规划（Tree DP）是动态规划中的一种特殊形式，它专门用于解决与树结构相关的问题。树形DP的核心思想是利用树的分形结构，递归地定义和解决问题。在这篇文章中，我们将深入探讨树形DP的基本概念、经典例题以及实际应用。

一、引言

树形动态规划（Tree DP）是动态规划中的一种特殊形式，它专门用于解决与树结构相关的问题。树形DP的核心思想是利用树的分形结构，递归地定义和解决问题。在这篇文章中，我们将深入探讨树形DP的基本概念、经典例题以及实际应用。

二、树形DP基础

1、树的定义与特性

在图论中，树被定义为一个连通且无圈的图。树的分形结构意味着树的每个子树也是一棵完整的树，这使得树形DP天然适合递归求解。树的这种结构允许我们从底部向上进行问题求解，即先求解子问题，再合并子问题的解来求解更高层次的问题。

2、树形DP的基本思想

树形动态规划（Tree DP）的基本思想是利用树的结构特性来分解问题，并通过递归的方式解决子问题，最后将子问题的解合并以得到原问题的解。这种方法的核心在于“分而治之”，即将大问题分解成小问题，递归求解小问题，再将小问题的解合并以解决大问题。以下是树形DP的几个关键点：

分而治之：树形DP将原问题分解为若干个规模更小的子问题。这些子问题通常对应于树的子树。通过递归地求解每个子树的问题，我们可以逐步构建出原问题的解。
后序遍历：树形DP的求解过程类似于树的后序遍历。在后序遍历中，我们先访问左子树，然后是右子树，最后是根节点。在树形DP中，我们先递归地求解所有子树的问题，然后合并这些子问题的解来求解根节点的问题。
状态定义：在树形DP中，我们需要定义一个状态来表示子问题的解。这个状态通常包含了子树的所有信息，例如子树的大小、子树的和、子树中的最大或最小值等。状态的定义取决于具体问题的需求。
状态转移：状态转移是树形DP中的核心步骤，它描述了如何根据子问题的解来求解当前问题的解。状态转移方程通常涉及到对子树状态的合并和处理，以及对当前节点的处理。
代码示例：子树大小：以下是一个计算以每个节点为根的子树大小的代码示例：

void dfs(int u) {
    if (u是叶子) {
        f[u] = 1; // 叶子节点的子树大小为1
        return;
    }
    int size = 0; // 用于累计子树大小
    for (int v : e[u]) {
        dfs(v);
        size += f[v]; // 累加子树大小
    }
    f[u] = size + 1; // 子树大小包括当前节点
}

在这个示例中，f[u]表示以节点u为根的子树大小。我们首先检查节点u是否为叶子节点，如果是，则其子树大小为1。如果不是叶子节点，我们递归地计算每个子节点的子树大小，并将它们累加到size变量中。最后，我们将size加上当前节点1，得到以节点u为根的子树大小。通过这种方式，我们可以高效地利用子问题的解来构建原问题的解，这是树形DP的基本思想。