多元函数微分法及其应用
多元函数微分法及其应用
多元函数的基本概念
平面点集
邻域
在几何上，U（p0，δ）就是xoy平面上以点P0为中心，δ>0为半径的圆内部的点P（x，y）全体。
去心邻域：将邻域的原点去掉，表达式如下所示
利用邻域来描述点和点集的之间的关系
任意点P与一个点集E之间除了上述三种关系，还有聚点关系：点P的去心邻域总有点集E中的点，那么称P是E的聚点。
由此定义可知，点集E的聚点P本身，可以属于E，也可以不属于E。
点集的特征
开区域：连通的开集称为区域或开区域
闭区域：开区域连同它边界一起所构成的点集称为闭区域
n维空间
n维空间的线性运算
在n维空间中定义距离
多元函数的概念
在处理自然现象以及实际问题中，经常会遇到多个变量之间的存在关系。
抽出共性，可得出多元函数的定义如下：
多元函数的写法
多元函数的几何意义
多元函数的几何意义就是空间上的曲面，而定义域D则是其投影区域
多元函数的极限
多元函数的极限与一元函数极限
图像如下：
极限定义大致意思可以这样理解： 给定一个正数φ，它们无论离A多近，始终能找到一个邻域，其函数值全体都比这个φ更近。
多元函数极限不存在的情况
例题
也能用多元函数的极限运算：
多元函数的连续性
偏导数
如何求偏导数
求偏导数并不需要用新的方法，因为只有一个自变量在变动，另一个自变量看作是固定的：
例题：
可得出结论如下：
高阶偏导数
函数z=(x,y)在区域D内的偏导数f'(x,y)和f'(x, y)仍然是x ,y的二元函数.如果f'(x.y)和f'(x,y)在区域D内仍具有偏导数。则称它们的偏导数为函数z的二阶偏导数。
一般有四种形式：
全微分
全微分的定义
我们用烧饼来举例：
全微分衍生的两条定理
定理1：自变量的微分等于它的增量△x= dx, △y = dy ,习惯上写为dz= Adx + Bdy 。
定理2：可微的等价：
可微的本质（一元与二元函数的对比）
可微的必要条件
** 1.如果函数z=f(x,y)在点(x0,y0)可微.则f(x,y)在点(x0,y0)处必连续.**
2.如果函数z=f(x,y)在点(x0,y0)可微.则f(x, y)在点(x0,y0)的偏导数fx’(x0,y0)与fy’(x0，y0)必存在。
** 综上，如果函数z=f(x,y)在点(x,y)偏导数在点(x,y),那么该函数在(x,y)该点可微**
因此,我们会得到定理三:
3. 叠加定理
多元函数的求导法则
一元函数与多元函数复合
而二元以上的多元函数也遵循着链式法则进行求导。
多元函数与多元函数复合
多元函数复合的计算
隐函数的求导公式
隐函数存在定理：设函数F（x，y）在点P（x0，y0）的某一邻域内具有连续偏导数。并且满足条件：F（x0，y0）=0，Fy（x0，y0）≠0，则说明方程F（x，y）=0在点（x0，y0）的某一邻域内恒能确定一个连续且具有连续导数的函数y=f（x）。
隐函数的求导方法
隐函数的二阶求导
隐函数与复合函数求导
多元函数的极值及其求法
极值的定义
设函数z的定义域为D，P0（x0，y0）为D的内点，若存在P0的某个邻域U（P0）∈D，该邻域中f（x，y）都没有比f（P0）更大的，则f（P0）是极大值；没有比f（p0）更小的，则f（P0）是极小值。
极值的必要条件（无条件的极值求法）
这也是多元函数极值的判定方法：
极值的求法：
例题
有条件的极值
函数自变量还有附加条件的极值问题，即是条件极值。
方法一 转化代入法
例题
方法二 拉格朗日乘数法
在限定条件中求最值，这恰好是拉格朗日乘数法的通用区。
例题
