等比中项的概念与应用

等比中项的概念与应用

教学目标

• 理解等比中项的概念。
• 掌握求解等比中项的方法，会用等比中项的知识解决简单的数列问题。
• 引导学生了解等比中项的概念，通过等比中项的探究，使学生感受类比、函数、方程等思想方法。
• 通过对等比中项的概念的学习提高学生解决数列问题的能力。
• 通过本节学习和运用实践，培养学生应用意识，体会数学的应用价值。

教学重难点

• 教学重点：求解等比中项。
• 教学难点：等比中项公式的探究过程。

教学过程

创设情境

国王准备赏赐给达伊尔棋64个棋盘格中的麦粒数构成数列：1，2，4，8，16，32，……，263

思考以下各组中的三个数，中间数与两边数有怎样的数量关系？

1，2，4；2，4，8；4，8，16；8，16，32.

自主探究

探究1

观察以下数列有什么特点？

1，2，4；2，4，8；4，8，16；8，16，32.

若三个数a,G,b成等比数列，则G称为a与b的等比中项。

探究2

由等比数列的定义可知，若G是a与b的等比中项，则有：

G2 = ab

反之，若三个非零数a,G,b满足关系式G2 = ab，则有：

a/G = G/b

由等比数列的定义可知a,G,b成等比数列。进而获得G是a与b的等比中项。

例题分析

例1

求7+35和7-3的等比中项。

解：设G是7+35和7-3的等比中项，则有：

G2 = (7+35)(7-3)

解得G = ±2

所以，7+35和7-3的等比中项是±2。

例2

在1和15之间插入两个数，使前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，求这两个数。

解：设所求两个数为m，n，由前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，可得：

m2 = 1 * n
2n = m + 15

解得m = 3，n = 9或m = -52，n = -23

所以，插入的两个数为3和9或-52和-23。

例3

已知三个数成等比数列，它们的和是7，积是8，求这三个数。

解：设这三个数分别为aq，a，aq，由这三个数的和是7，积是8，可得：

aq + a + aq = 7
(aq) * a * (aq) = 8

解得a = 2，q = 2或a = 2，q = 1/2

当a = 2，q = 2时，所求三个数为1，2，4；
当a = 2，q = 1/2时，所求三个数为4，2，1。

所以，所求三个数为1，2，4或4，2，1。

巩固练习

1. 等比数列-2，1，-1/2，…的第5项是18，求这个数列的公比。

解：由已知可得q = a2/a1 = 1/-2 = -1/2

由an = a1 * q^(n-1)即-1/2 * (-1/2)^(n-1) = 18

解得n = 5，所以，18是数列的第5项。

2. 在3与27之间插入一个数，使这三个数成等比数列，求这个数。

解：设这个数为G，则有：

G2 = 3 * 27

解得G = ±9

所以，插入的数是±9。

3. 已知三个数成等比数列，它们的和是21，积是216，求这三个数。

解：设这三个数分别为aq，a，aq，由这三个数的和是21，积是216，可得：

aq + a + aq = 21
(aq) * a * (aq) = 216

解得a = 6，q = 2或a = 6，q = 1/2

当a = 6，q = 2时，所求三个数为3，6，12；
当a = 6，q = 1/2时，所求三个数为12，6，3。

所以，所求三个数为3，6，12或12，6，3。

课堂小结

1. 等比中项的概念：若三个数a,G,b成等比数列，则G称为a与b的等比中项。
2. 等比中项的公式：若G是a与b的等比中项，则有G2 = ab。
3. 通过等比中项公式的探究，感受类比、方程等思想方法。
4. 运用等比数列解决实际问题，感受数学的应用价值。

课后作业

1. 练习册3.3.2(水平一)必做
2. 练习册3.3.2(水平二)选做
3. 预习课本3.3.3