四元数的故事：从汉密尔顿的顿悟到现代应用

四元数的故事：从汉密尔顿的顿悟到现代应用

四元数是数学中一个独特而迷人的概念，它不仅扩展了我们对数的理解，还在现代科技中发挥着重要作用。从汉密尔顿在布鲁厄姆桥上的顿悟，到四元数在3D计算机图形学中的应用，这段数学之旅将带你深入了解这个超越复数的数学世界。

19世纪40年代，威廉·罗文·汉密尔顿（William Rowan Hamilton）试图解决一个棘手的问题。他知道复数可以看作二维空间中的点，并且可以使用某些几何或代数运算将它们相加和相乘。1843年，汉密尔顿花了很长时间研究一个难题，即在三维空间中找到表现得像复数一样的数字。我们知道三维空间中的点可以用它们的坐标表示，这些坐标是形为的三元组，并且具有明显的加法规则（即每个分量分别相加），但汉密尔顿很难定义这样三元数组适当的乘法。

以至于后来汉密尔顿在写给儿子阿奇博尔德的一封信中也暴露了它对此无能无能为力的沮丧之情：

1843年10月初，每天早上，当他下楼吃早餐时，你和你哥哥威廉·埃德温总是问他：“爸爸，你会做三元数的乘法吗？”对此，他总是不得不悲伤地摇头回答：“不会，我只会做加减运算。”

但1843年10月16日，汉密尔顿和妻子在去爱尔兰皇家学院参加理事会的路上，沿着都柏林的皇家运河散步。当他们经过布鲁厄姆桥（现在被称为布鲁姆桥）时，一个解决方案突然出现在他的脑海中。在桥上行走时，一个闪电般的顿悟击中了他。

他虽然无法让三维空间中的三元组的乘法运作，但他发现可以对四元组（即四维空间中的点）采取类似的方法。通过利用四元组中的三个数字作为三维坐标中的点，哈密尔顿能够用他的新数字系统来表示空间中的点，但为了使代数运算得以成立，这些数字必须延伸到第四维。这正是他那伟大的洞见！

事实上，他认为他的发现非常重要，因为害怕失去这个想法（毕竟你随时都可能死去），他把乘法的基本规则刻在了桥的石头上：

他的妻子在寒冷中等待时一定对他非常有耐心（或者也许她因为对这些神秘数字的追寻现在已经结束而感到宽慰）。

第二天，汉密尔顿给他的朋友兼数学家同事约翰·T·格雷夫斯写了一封信，描述了桥上的奇迹。

“这时我突然想到，在某种意义上，为了用三元组进行计算，我们必须承认空间中有第四维……仿佛一条电路闭合了，一道火花闪现出来。”

哈密尔顿将具有这些乘法规则的四元组称为四元数（quaternion），并将他余生的时间投入到研究和教授四元数之中。

数学原理

正如复数既具有代数结构又具有几何意义，四元数也同样如此。事实上，复数域在某种意义上嵌入在四元数空间中，因此我们可以期待某些适用于复数的普遍定理也能适用于四元数。事实证明，这确实是正确的。

我们可以列出以下数集的包含关系：

因此，我们有一个集合链其中每个集合都是右边集合的子集。这些集合分别是自然数、整数、有理数、实数、复数和四元数。一个自然的问题是：

是否存在比四元数更高维的数字空间？

这个问题的答案是“是”，但我们需要先学会走路，然后才能试着跑，所以让我们来谈谈四元数。没错，字母H代表汉密尔顿！

正如我们可以将复数视为的二维实数空间()中的点（或向量）一样，我们可以将四元数视为中的点，因此我们需要4个实数来定义四元数。四元数是形式为的表达式，其中是实数，符号、和彼此满足某些代数关系。

具体来说，我们有（这是汉密尔顿在桥上写下的），而且，

这些规则与适用于四元数的分配律和结合律一起定义了的代数。请注意，四元数不具有交换性。也就是说，一般来说，乍一看，我们需要跟踪数字相乘的方向，这可能看起来很奇怪，但那些像我一样花了大量时间研究线性代数的人知道，许多其他数学结构和空间也具有这种非交换性。

有时我们将四元数写为标量部分与矢量部分之和。因此我们可以写出，其中

在这种形式中，我们把四元数的共轭写为

四元数与其共轭的乘积的平方根称为其范数，是从原点到四元数在中的距离。也就是说，

这当然只是四维空间的毕达哥拉斯定理。

欧拉通过复数发现了一个惊人的关系，即

四元数理论的美妙之处之一是四元数的欧拉公式。令人惊讶的是，如果我们把一个四元数的形式写成，那么以下美妙的关系成立：

请注意，这实际上是欧拉公式的推广，因为如果我们有一个四元数，其中那么这两个公式就重合了。

汉密尔顿想出了这些数字，以便处理三维空间中的旋转。因此，尽管它们存在于四维空间中，但事实证明，如果你只跟踪矢量部分（当然存在于中），它们对于处理三维空间中的旋转非常有效。

应用和概述

四元数用于许多纯数学领域，例如抽象代数结构的研究。然而，事实证明，四元数在现实生活中也有许多应用。例如，在3D计算机图形学中，四元数一直被使用，因为它们比相应的矩阵更高效、更快。

四元数还用于数论中拉格朗日四平方定理的证明之一，该定理指出每个非负整数都是四个整数平方和。拉格朗日四平方定理在数论以外的数学领域也有有用的应用，例如组合设计理论。

四元数在数学中占有一席之地，但如今，它们的大部分理论已经被更一般的数学框架所取代。在现代数学语言中，四元数构成了一个四维的结合的赋范除环（associative normed division algebra），它是建立在实数之上的第一个非交换(noncommutative)的除环。

更高维的数空间

我们现在进入了抽象代数（abstract algebra）的领域。正如我在文章开头简要提到的，除了四元数之外，还有更高维的数空间。一般来说，所有扩展复数的代数结构都被称为超复数（hypercomplex number spaces），而下一个这样的数空间便是八元数（octonions），记作它们存在于八维空间(8-dimensional space)之中。

然而，八元数既不满足交换律，也不满足结合律，这使得它们比四元数更难处理。通常来说，每当我们尝试提升数的维度并考虑更高维的空间时，我们都会失去某些代数结构。

结语

至此，我们已经接近这个高维数之旅的终点。我希望这篇文章能激发你自己去探索这些优美的数学对象，并尝试亲自玩味它们的奥妙。