十二种数列极限计算方法与典型题求解
十二种数列极限计算方法与典型题求解
极限计算是高等数学、微积分和数学分析中的重要内容，也是各类考试的重点考查内容。本文总结了12种数列极限计算方法，包括极限的定义、四则运算法则、单调有界定理、夹逼准则、数列的柯西收敛准则、Stolz定理、利用定积分的定义计算极限、级数收敛的必要条件、收敛级数余项的基本性质、利用级数收敛性判断极限存在、利用级数求和求数列极限以及压缩映射原理等。
1. 极限的定义
极限的定义是讨论数列极限问题的基础。常见的数列极限定义形式有以下几种：
其中第一个定义是标准的教材定义形式。在使用定义探讨问题时要注意：
- 虽然是任意的，但由于它是度量数列项与极限值之间的距离可以任意小，所以一般是可小不可大，同时也可以限定其取值范围。
- 大 如果存在，一般是由给定的 确定的，它要是 的关系式，而且由于它是度量数列某一项后面所有的项，都应该满足绝对值不等式，所以一般是可大不可小。
- 任意的正数 一旦给定，就是一个固定的正常数；同样，对于给定的 ， 的一旦存在，则 可以取为任意大于 的数，但是相对于给定的 ，通过解不等式得到的 ，也可以认为它是固定的。
2. 极限的四则运算法则
极限的四则运算法则以函数形式给出，如果将 换成 ，取 变化过程为趋于正无穷大，则结论为数列极限的四则运算法则。使用极限运算法则时要特别注意：参与运算的两个函数，或者有限个函数的极限要存在，且在分式中，作为分母的函数，在自变量的变化过程的某个邻域范围内不能为 0。
3. 单调有界定理
数列的单调有界定理表述为：单调有界必有极限。函数的单侧单调有界原理表述为：函数在一侧邻域内自变量变化过程中单调有界则必有极限。值得注意的是，单调有界原理只能判定极限的存在性，不能直接得到极限值。
4. 夹逼准则
夹逼准则既适用于数列的极限，也适用于函数的极限。当自变量 取为正整数且趋于正无穷大时，就是数列极限的夹逼准则。不等式关系只要在某个邻域内成立就可以了。对于数列而言，夹逼准则用得比较多的题型是 项求和极限式。
5. 数列的柯西收敛准则
柯西收敛准则相对于数列极限的 语言的定义，最大的优势是定义中的 与极限值 的关系换成了 与 的关系，或者换成了 的关系，这样也就不需要借用数列的通项以外的数 ，也就是不需要另外找一个常数来判定极限的存在性了，而只需根据数列通项本身的特征就可鉴别它的敛散性了。
6. Stolz 定理
斯托尔茨定理是非常实用的、数列极限存在性判定与计算方法，也称为数列极限的洛必达法则。它将数列的极限的存在性的判定与计算，转换为分子、分母数列通项的差的比值，构成的极限来讨论。特别对分子、分母为求和表达式类型的极限，利用 Stolz 定理有很大的优越性。
7. 利用定积分的定义计算极限
当遇到 项求和的极限式求极限值时，如果它能写成一个函数 ，在均分区间 上每个子区间上的函数值，乘以子区间长度的结构，并函数 在区间 上可积的时候，就可以尝试考虑将其转换为定积分来计算极限值。
8. 级数收敛的必要条件
如果级数收敛，则级数的通项构成的数列项趋于 0。基于这个性质，对于某些数列的极限存在性的判定和极限值的计算，就可以将其视为某一个级数的通项，然后利用级数收敛性的判定方法，在成功判定级数收敛的情况下，就可以得到数列收敛的结论，并且可以直接得到数列的极限就等于 0。
9. 收敛级数余项的基本性质
可以通过判定级数收敛的方法，来判断通项为级数的余项 的数列的收敛性，并且可以得到极限为 0 的结论。
10. 利用级数收敛性判断极限存在
对于某些数列的问题可以转换为级数的问题来讨论。例如，数列 收敛的充要条件是级数 收敛。
11. 利用级数求和求数列极限
由于级数的和本身就为部分和数列的极限，所以遇到具有级数部分和结构的数列的极限的计算，也就可以考虑利用级数求和的方法来求极限。
12. 压缩映射原理
利用压缩映射原理来判定数列极限的存在性并求数列的极限。压缩映射原理在求一些数列极限中有着十分重要的作用，往往可以使数列极限问题得到简便快速的解决。
以上就是今天要探讨的内容，主要是数列极限的计算思路与方法，下一讲中咱们继续讨论极限问题的求解与验证。