信号处理——Hilbert变换及谱分析

信号处理——Hilbert变换及谱分析

引用

CSDN

1.

https://m.blog.csdn.net/heifan2014/article/details/72667369?utm_source=blogxgwz3

Hilbert变换是信号处理中的一个重要工具，常用于获取解析信号，进而实现窄带信号的解包络和瞬时频率的求解。本文将从基本理论出发，结合MATLAB实例，详细探讨Hilbert变换在信号处理中的应用，并分析其在实际应用中可能遇到的端点效应问题。

一、基本理论

A-Hilbert变换定义

对于一个实信号，其希尔伯特变换为：

式中*表示卷积运算。

Hilbert本质上也是转向器，对应频域变换为：

即余弦信号的Hilbert变换时正弦信号，又有：

即信号两次Hilbert变换后是其自身相反数，因此正弦信号的Hilbert是负的余弦。

对应解析信号为：

此操作实现了信号由双边谱到单边谱的转化。

B-Hilbert解调原理

设有窄带信号：

其中是载波频率，是的包络，是的相位调制信号。由于是窄带信号，因此也是窄带信号，可设为：

式中，为调幅信号的频率分量，为的各初相角。

对进行Hilbert变换，并求解解析信号，得到：

设

则解析信号可以重新表达为：

对比表达式，容易发现：

由此可以得出：对于窄带信号，利用Hilbert可以求解解析信号，从而得到信号的幅值解调和相位解调，并可以利用相位解调求解频率解调。因为：

C-相关MATLAB指令

• hilbert
  功能：将实数信号x(n)进行Hilbert变换，并得到解析信号z(n).
  调用格式：z = hilbert(x)

• instfreq
  功能：计算复信号的瞬时频率。
  调用格式：[f, t] = insfreq(x,t)
  示例：

z = hilbert(x);
f = instfreq(z);

二、应用实例

例1：给定一正弦信号，画出其Hilbert信号

clc
clear all
close all
ts = 0.001;
fs = 1/ts;
N = 200;
f = 50;
k = 0:N-1;
t = k*ts;
% 信号变换
% 结论：sin信号Hilbert变换后为cos信号
y = sin(2*pi*f*t);
yh = hilbert(y);    % matlab函数得到信号是合成的复信号
yi = imag(yh);      % 虚部为书上定义的Hilbert变换
figure
subplot(211)
plot(t, y)
title('原始sin信号')
subplot(212)
plot(t, yi)
title('Hilbert变换信号')
ylim([-1,1])

对应效果图：

例2：已知信号，求解该信号的包络和瞬时频率

分析：根据解包络原理知：
信号包络：

瞬时频率：

那么问题来了，实际情况是：我们只知道的结果，而不知道其具体表达形式，这个时候，上文的推导就起了作用：可以借助信号的Hilbert变换，从而求解信号的包络和瞬时频率。

对应代码：

clear all; clc; close all;
fs=400;             % 采样频率
N=400;              % 数据长度
n=0:1:N-1;
dt=1/fs;
t=n*dt;             % 时间序列
A=0.5;              % 相位调制幅值
x=(1+0.5*cos(2*pi*5*t)).*cos(2*pi*50*t+A*sin(2*pi*10*t));  % 信号序列
z=hilbert(x');      % 希尔伯特变换
a=abs(z);           % 包络线
fnor=instfreq(z);   % 瞬时频率
fnor=[fnor(1); fnor; fnor(end)];    % 瞬时频率补齐
% 作图
pos = get(gcf,'Position');
set(gcf,'Position',[pos(1), pos(2)-100,pos(3),pos(4)]);
subplot 211; plot(t,x,'k'); hold on;
plot(t,a,'r--','linewidth',2);
title('包络线'); ylabel('幅值'); xlabel(['时间/s' 10 '(a)']);
ylim([-2,2]);
subplot 212; plot(t,fnor*fs,'k'); ylim([43 57]);
title('瞬时频率'); ylabel('频率/Hz');  xlabel(['时间/s' 10 '(b)']);

对应的结果图为：

可以看到信号的包络、瞬时频率，均已完成求解。

例3：例2中信号包络为规则的正弦函数，此处给定任意形式的包络（以指数形式为例），并利用Hilbert求解包络以及瞬时频率，并给出对应的Hilbert谱。

程序：

clc
clear all
close all
ts = 0.001;
fs = 1/ts;
N = 200;
k = 0:N-1;
t = k*ts;
% 原始信号
f1 = 10;
f2 = 70;
% a = cos(2*pi*f1*t);     % 包络1
a = 2 + exp(0.2*f1*t);    % 包络2
% a = 1./(1+t.^2*50);     % 包络3
m = sin(2*pi*f2*t);       % 调制信号
y = a.*m;  % 信号调制
figure
subplot(241)
plot(t, a)
title('包络')
subplot(242)
plot(t, m)
title('调制信号')
subplot(243)
plot(t, y)
title('调制结果')
% 包络分析
% 结论：Hilbert变换可以有效提取包络、高频调制信号的频率等
yh = hilbert(y);
aabs = abs(yh);           % 包络的绝对值
aangle = unwrap(angle(yh));     % 包络的相位
af = diff(aangle)/2/pi;         % 包络的瞬时频率，差分代替微分计算
% NFFT = 2^nextpow2(N);
NFFT = 2^nextpow2(1024*4);      % 改善栅栏效应
f = fs*linspace(0,1,NFFT);
YH = fft(yh, NFFT)/N;           % Hilbert变换复信号的频谱
A = fft(aabs, NFFT)/N;          % 包络的频谱
subplot(245)
plot(t, aabs,'r', t, a)
title('包络的绝对值')
legend('包络分析结果', '真实包络')
subplot(246)
plot(t, aangle)
title('调制信号的相位')
subplot(247)
plot(t(1:end-1), af*fs)
title('调制信号的瞬时频率')
subplot(244)
plot(f,abs(YH))
title('原始信号的Hilbert谱')
xlabel('频率f (Hz)')
ylabel('|YH(f)|')
subplot(248)
plot(f,abs(A))
title('包络的频谱')
xlabel('频率f (Hz)')
ylabel('|A(f)|')

对应结果图：

从结果可以观察，出了边界误差较大，结果值符合预期。对于边界效应的分析，见扩展阅读部分。注意：此处瞬时频率求解，没有用instfreq函数，扩展阅读部分对该函数作进一步讨论。

三、扩展阅读

A-瞬时频率求解方法对比

对于离散数据，通常都是用差分代替微分，因此瞬时频率也可根据概念直接求解。此处对比分析两种求解瞬时频率的方法，给出代码：

clc
clear all
close all
ts = 0.001;
fs = 1/ts;
N = 200;
k = 0:N-1;
t = k*ts;
% 原始信号
f1 = 10;
f2 = 70;
% a = cos(2*pi*f1*t);     % 包络1
a = 2 + exp(0.2*f1*t);    % 包络2
% a = 1./(1+t.^2*50);     % 包络3
m = sin(2*pi*f2*t);       % 调制信号
y = a.*m;  % 信号调制
figure
yh = hilbert(y);
aangle = unwrap(angle(yh));     % 包络的相位
af1 = diff(aangle)/2/pi;         % 包络的瞬时频率，差分代替微分计算
af1 = [af1(1),af1];
subplot 211
plot(t, af1*fs);
hold on;
plot(t,70*ones(1,length(t)),'r--','linewidth',2);
title('直接求解调制信号的瞬时频率');
legend('频率估值','真实值','location','best');
subplot 212
af2 = instfreq(yh.');
af2 = [af2(1),af2,af2(end)];
plot(t, af2*fs);
hold on;
plot(t,70*ones(1,length(t)),'r--','linewidth',2);
title('instfreq求解调制信号的瞬时频率');
legend('频率估值','真实值','location','best');

结果图：

可以看出，两种方式结果近似，但instfreq的结果更为平滑一些。

B-端点效应分析

对于任意包络，求解信号的包络以及瞬时频率，容易出现端点误差较大的情况，该现象主要基于信号中的Gibbs现象，限于篇幅，拟为此单独写一篇文章，具体请参考：Hilbert端点效应分析。

C-VMD、EMD

Hilbert经典应用总绕不开HHT（Hilbert Huang），HHT基于EMD，近年来又出现了VMD分解，拟为此同样写一篇文章，略说一二心得，具体参考：EMD、VMD的一点小思考。

D-解包络方法

需要认识到，Hilbert不是解包络的唯一途径，低通滤波（LPF）等方式一样可以达到该效果，只不过截止频率需要调参。给出一个Hilbert、低通滤波解包络的代码：

function y=envelope(signal,Fs)
%Example:
%   load('s4.mat');
%   signal=s4;
%   Fs=12000;
%   envelope(signal,Fs);
clc;
close all;
%Normal FFT
y=signal;
figure();
N=2*2048;
T=N/Fs;
sig_f=abs(fft(y(1:N)',N));
sig_n=sig_f/(norm(sig_f));
freq_s=(0:N-1)/T;
subplot 311
plot(freq_s(2:250),sig_n(2:250));
title('FFT of Original Signal');
%Envelope Detection based on Low pass filter and then FFT
[a,b]=butter(2,0.1);%butterworth Filter of 2 poles and Wn=0.1
%sig_abs=abs(signal); % Can be used instead of squaring, then filtering and
%then taking square roots
sig_sq=2*signal.*signal;% squaring for rectifing
%gain of 2 for maintianing the same energy in the output
y_sq = filter(a,b,sig_sq); %applying LPF
y=sqrt(y_sq);%taking Square root
%advantages of taking square and then Square root rather than abs, brings
%out some hidden information more efficiently
N=2*2048;
T=N/Fs;
sig_f=abs(fft(y(1:N)',N));
sig_n=sig_f/(norm(sig_f));
freq_s=(0:N-1)/T;
subplot 312
plot(freq_s(2:250),sig_n(2:250));
title('Envelope Detection: LPF Method');
%Envelope Detection based on Hilbert Transform and then FFT
analy=hilbert(signal);
y=abs(analy);
N=2*2048;
T=N/Fs;
sig_f=abs(fft(y(1:N)',N));
sig_n=sig_f/(norm(sig_f));
freq_s=(0:N-1)/T;
subplot 313
plot(freq_s(2:250),sig_n(2:250));
title('Envelope Detection : Hilbert Transform')

结果图：

效果是不是也不错？