小学奥数题型之鸡兔同笼问题

小学奥数题型之鸡兔同笼问题

鸡兔同笼问题作为我国古代著名的数学趣题，最早记载于《孙子算经》。它不仅具有深厚的历史文化底蕴，更充分展现了古人在解决数学问题方面的卓越智慧。本文将详细介绍鸡兔同笼问题的背景、概念、解题方法及其变形和拓展，帮助读者全面掌握这一经典数学问题。

1. 鸡兔同笼问题的背景和概念

鸡兔同笼问题是我国古代著名的数学趣题，最早记载于《孙子算经》。该问题具有浓厚的历史文化背景，反映了古人在数学问题解决方面的智慧。

基本概念：已知鸡和兔的总头数和总脚数，求鸡和兔各有多少只。通常假设笼子里全是鸡或者全是兔，然后根据脚数的差异来计算鸡和兔的实际数量。例如，一个笼子里有鸡和兔共10个头，28只脚，要算出鸡和兔分别有几只。

2. 常用解题方法

假设法

• 假设全是鸡：
  思路：假设笼子里全部是鸡，那么总脚数就会比实际的脚数少，因为每把一只兔当成鸡就会少算(4 - 2 = 2)只脚。
  示例：在上面提到的有10个头，28只脚的例子中，假设全是鸡，那么总脚数为(10×2 = 20)只。实际有28只脚，少了(28 - 20 = 8)只脚。每把一只兔当成鸡少算2只脚，所以兔的数量为(8÷2 = 4)只，鸡的数量为(10 - 4 = 6)只。

• 假设全是兔：
  思路：假设全部是兔，总脚数会比实际脚数多，因为每把一只鸡当成兔就会多算(4 - 2 = 2)只脚。
  示例：同样对于10个头，28只脚的情况，假设全是兔，总脚数为(10×4 = 40)只。比实际多了(40 - 28 = 12)只脚。每把一只鸡当成兔多算2只脚，所以鸡的数量为(12÷2 = 6)只，兔的数量为(10 - 6 = 4)只。

抬脚法（古人解法）

思路：让鸡和兔都抬起一半的脚，此时脚的总数为总脚数的一半。然后用这个数字减去头的总数，得到的就是兔的数量。因为鸡抬起一半脚后，脚数和头数相等，而兔抬起一半脚后，脚数比头数多1。

示例：对于10个头，28只脚的问题，总脚数的一半是(28÷2 = 14)只。用14减去头的总数10，得到(14 - 10 = 4)只，这就是兔的数量，鸡的数量就是(10 - 4 = 6)只。

方程法

思路：设鸡有(x)只，兔有(y)只。根据头的总数可列方程(x + y =头的总数)，根据脚的总数可列方程(2x + 4y =脚的总数)，然后联立方程组求解。

示例：对于有10个头，28只脚的情况，设鸡有(x)只，兔有(y)只，可得方程组(\begin{cases}x + y = 10\2x + 4y = 28\end{cases})。由第一个方程可得(x = 10 - y)，将其代入第二个方程可得(2(10 - y)+4y = 28)，即(20 - 2y + 4y = 28)，(2y = 8)，解得(y = 4)，则(x = 10 - 4 = 6)。

3. 鸡兔同笼问题的变形和拓展

物品数量与价格问题

例如，小明去买文具，铅笔和钢笔一共买了15支，铅笔每支1元，钢笔每支3元，一共花了35元，问铅笔和钢笔各买了几支。这里可以把铅笔看成鸡，钢笔看成兔，数量相当于头数，价格相当于脚数，用同样的方法求解。

不同动物组合问题

一个农场里有鸵鸟和长颈鹿，它们共有30个头，84只脚，问鸵鸟和长颈鹿各有多少只。这也是鸡兔同笼问题的变形，只要明确每种动物的脚数，就可以按照常规方法解题。

与其他数学概念结合的问题

如在鸡兔同笼的基础上，加入倍数关系或者分数关系。例如，鸡的数量是兔的数量的2倍，鸡兔共有40只脚，问鸡兔各有多少只。需要先根据倍数关系设未知数，再结合脚数的条件列方程求解。

4. 奥数常见题型：鸡兔同笼问题

基本概念：鸡兔同笼问题又称为置换问题、假设问题，就是把假设错的那部分置换出来；

基本思路：
① 设，即假设某种现象存在（甲和乙一样或者乙和甲一样）：
②假设后，发生了和题目条件不同的差，找出这个差是多少；
③每个事物造成的差是固定的，从而找出出现这个差的原因；
④再根据这两个差作适当的调整，消去出现的差。

基本公式：

①把所有鸡假设成兔子：鸡数＝（兔脚数×总头数－总脚数）÷（兔脚数－鸡脚数）
②把所有兔子假设成鸡：兔数＝（总脚数一鸡脚数×总头数）÷（兔脚数一鸡脚数）

关键问题：找出总量的差与单位量的差。