弦切角定理及其应用

弦切角定理及其应用

弦切角

顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角。

如图 4.55, $\angle ABC$ 就是弦切角，顶点 $B$ 在圆上，一边 $BC$ 与圆相切于 $B$ 点，另一边还与圆相交于 $A$ 点，$\widehat{AmB}$ 叫做弦切角 $\angle ABC$ 所夹的弧。

弦切角定理

弦切角的度数等于它所夹的弧的度数的一半。

已知： $\angle ABC$ 是 $\odot O$ 的弦切角 (图4.55)。边 $\overline{BC}$ 与 $\odot O$ 相切，边 $\overline{BA}$ 与 $\odot O$ 相交于 $A$ 点。

求证： $\angle ABC$ 的度数 $=\frac{1}{2}\widehat{AmB}$ 的度数。

证明：过 $B$ 点作 $\odot O$ 的直径 $\overline{BD}$，作弦 $\overline{AD}$。由于直径上的圆周角是直角，

$$
\therefore \angle BAD=90^\circ, \angle ADB=90^\circ-\angle ABD
$$

$$
\because BC 是 \odot O 的切线,
$$

$$
\therefore \overline{OB} \perp BC, \angle ABC=90^\circ-\angle ABD, \angle ABC=\angle ADB
$$

$$
\because \angle ADB 的度数 =\frac{1}{2}\widehat{AmB} 的度数 (圆周角定理)
$$

$$
\therefore \angle ABC 的度数 =\frac{1}{2}\widehat{AmB} 的度数.
$$

由弦切角定理与圆周角定理又可得到：

推论

弦切角等于它所夹弧上的圆周角。

例题

例 4.17

已知：如图 4.56, $\overline{AB}$ 是 $\odot O$ 的一条弦, $AC$ 是一条射线, 且 $\angle BAC=$ $\frac{1}{2}\widehat{AB}$ 的度数。

求证： AC 切 $\odot O$ 于 $A$。

证明：作直径 $\overline{AD}$。由于：

$$
\angle BAC=\frac{1}{2}\widehat{AB} 的度数
$$

(已知)

$$
\angle ADB=\frac{1}{2}\widehat{AB} 的度数
$$

(圆周角定理)

$$
\begin{array}{ll}
\therefore & \angle BAC=\angle ADB.\
\because & \angle ABD=90^\circ\text{(圆周角定理推论 2)}\
\therefore & \angle ADB+\angle BAD=90^\circ, \angle BAC+\angle BAD=90^\circ
\end{array}
$$

于是, $AC\perp AD$ 于 $A$ 点，

$$
\therefore AC 切 \odot O 于 A 点 (切线判定定理).
$$

例 4.17 所证结论说明了：弦切角定理的逆定理是成立的。这就是说，一个角的顶点在圆周上且等于它所夹弧的度数的一半，不仅是这个角为弦切角的必要条件, 同时也是这个角为弦切角的充分条件。

例 4.18

在已知线段上，作含有已知圆周角的弧：

已知： $\overline{AB}$ 和 $\angle \alpha$ （图4.57）。

求作：以 $A、B$ 两点为端点的弧，使它所含的圆周角等于 $\angle \alpha$。

分析: 假定 $\widehat{AmB}$ 是所求作的弧 (图 4.57), 作切线 $AC$，就有 $\angle BAC=\angle \alpha$，因为圆心 $O$ 在 $\overline{AB}$ 的垂直平分线 $DE$ 上, 又在 $AC$ 的垂线 $AF$ 上, 所以圆心 $O$ 是 $DE$ 和 $AF$ 的交点。于是得作法如下:

1. 作 $\angle BAC=\angle \alpha$,

2. 作 $\overline{AB}$ 的垂直平分线 $DE$,

3. 作 $AF\perp AC$ 交 $DE$ 于 $O$,

4. 以 $O$ 为圆心, $OA$ 为半径画 $\widehat{AmB}$，使 $\widehat{AmB}$ 和 $AC$ 在 $\overline{AB}$ 的两旁, $\widehat{AmB}$ 就是所求作的弧。

证明: $\because AC\perp OA$ 于 $A$ 点，

$$
\therefore AC 是 \odot O 的切线, \angle BAC 是弦切角。
$$

$$
\widehat{AmB} 所含的圆周角 =\angle BAC=\angle \alpha (弦切角定理的推论).
$$

因此， $\widehat{AmB}$ 就是所求作的弧。

讨论：图 4.57 中所作的 $\widehat{AmB}$ 在 $\overline{AB}$ 的上方，我们还可以在 $\overline{AB}$ 的下方作出另一条 $\widehat{A{m}^{\prime }B}$ (图 4.58)，使 $\widehat{A{m}^{\prime }B}$ 所含的圆周角也等于 $\angle \alpha$。因此，所求作的弧有两条。

例4.19

已知：两圆外切于 $A$ 点，过 $A$ 作二条直线，一条与两圆相交于 $C、D$ 两点，另一条与两圆相交于 $E、F$ 两点（图4.59）。

求证： $CE//FD$ 。

证明：过 $A$ 引两圆的公切线 $MN$，

$$
\because \angle ACE=\angle EAN,\angle FDA=\angle FAM (弦切角定理的推论),
$$

又 $\because \angle EAN=\angle FAM$，

$$
\therefore \angle ACE=\angle FDA, CE//FD
$$