附录：矩阵转换

附录：矩阵转换

本文将介绍二维图形矩阵转换的数学基础，包括矩阵的基本概念、矩阵运算、仿射变换等，并详细解释了平移、缩放、旋转、倾斜等基本变换的矩阵表示。

矩阵简介

矩阵是实数的矩形数组。矩阵的顺序是行数和列数。例如，如果矩阵有 3 行和 2 列，则顺序为 3 × 2。矩阵通常用方括号括起来的矩阵元素显示：

表示法：矩阵由大写字母指定。元素由小写字母指定。下标指示元素的行号和列号。例如，a_ij是矩阵 A 的第 i 行和第 j 列的元素。

下图显示了一个 i × j 矩阵，其中包含矩阵的每个单元格中的单个元素。

矩阵运算

本部分介绍在矩阵上定义的基本运算。

• 添加。通过添加 A 和 B 的相应元素来获取两个矩阵的 A + B 的总和：

  A + B = [ a_ij ] + [ b_ij ] = [ a_ij + b_ij ]

• 标量乘法。此运算将矩阵乘以实数。给定实数k，则通过乘以 A 的每个元素乘以k来获取标量积 kA。

  kA = k[ a_ij ] = [ k × ij ]

• 矩阵乘法。假设有两个矩阵 A 和 B（m × n） 和 （n × p），则 product C = A × B 是一个矩阵，其顺序为 m × p），定义如下：

  或者，等效：

  c_ij = a_i1 x b1_j + a_i2 x b2_j + ... + a_in + b_nj

  也就是说，若要计算每个元素 cij，请执行以下运算：

  2. 获取 A 的第一行和 B 的第 j 列。
  3. 将行和列中的每一对元素相乘：第一行项按第一列项、第二行项乘以第二列项，依此类推。
  4. 对结果求和。

  下面是将一个矩阵（2 × 2）矩阵乘以（2 × 3）矩阵的示例。

  矩阵乘法不是通勤的。也就是说，A × B ≠ B × A。此外，从定义中，它遵循的不是每对矩阵都可以相乘。左侧矩阵中的列数必须等于右侧矩阵中的行数。否则，未定义×运算符。

• 标识矩阵。标识矩阵（指定 I）是一个定义如下的平方矩阵：

  如果 i = j，则 I_ij = 1;否则为 0。

  换句话说，标识矩阵包含每个元素的 1，其中行号等于列号，对于所有其他元素，则为零。例如，下面是 3 个× 3 个标识矩阵。

  任何矩阵 M 的以下相等性保留。

  M x I = M I x M = M

仿射变换

仿射变换是一种数学运算，用于将一个坐标空间映射到另一个坐标空间。换句话说，它将一组点映射到另一组点。仿射变换具有一些功能，使它们在计算机图形中很有用。

• 仿射变换将保留对等性。如果三个或更多个点落在一行上，它们仍然在转换后形成一条线。直线保持直线。
• 两个仿射变换的构成是一个仿射变换。

二维空间的仿射变换具有以下形式。

如果应用前面给出的矩阵乘法的定义，则可以显示两个仿射变换的乘积是另一个仿射变换。 若要使用仿射变换转换 2D 点，该点表示为 1 × 3 矩阵。

P = |x y 1 |

前两个元素包含点的 x 和 y 坐标。1 放置在第三个元素中，使数学正常工作。 若要应用转换，请按如下所示将两个矩阵相乘。

P' = P × M

这会扩展到以下内容。

哪里

x' = ax + cy + e y' = bx + dy + f

若要获取转换的点，请获取矩阵 P'的前两个元素。

p = （x'， y'） = （ax + cy + e， bx + dy + f）

注意

1 ×n矩阵称为行向量。Direct2D 和 Direct3D 都使用行向量来表示 2D 或 3D 空间中的点。可以使用列向量（n× 1）并转置转换矩阵来获取等效的结果。大多数图形文本都使用列向量形式。本主题介绍行向量形式，以便与 Direct2D 和 Direct3D 保持一致。

接下来的几个部分派生基本转换。

平移变换

平移变换矩阵采用以下形式。

将点P插入此公式生成：

P' = （x + dx， y + dy）

对应于 X 轴中的 dxdx 翻译的点（x，y），Y 轴中的 dy。

缩放变换

缩放变换矩阵具有以下形式。

将点P插入此公式生成：

P' = （x \ dx， y \ dy）

对应于dx和dy缩放的点（x，y）。

围绕原点旋转

在原点周围旋转点的矩阵具有以下形式。

转换的点为：

P' = （xcos≤ – ysin≤、xsin≤ + ycos 菲尔）

证明。 若要显示 P 表示旋转，请考虑下图。

鉴于：

P = （x，y）

要转换的原始点。

Φ

由线条（0,0）到 P 构成的角度。

Θ

围绕原点旋转 （x，y） 的角度。

P' = （x'，y'）

转换的点。

R

行（0,0）到 P 的长度。此外，旋转圆的半径。

注意

此图使用几何图形中使用的标准坐标系，其中正 y 轴向上。Direct2D 使用 Windows 坐标系，其中正 y 轴向下点。

x 轴和线条 （0,0） 到 P' 之间的角度为 Ф + Ф。 以下标识保留：

x = R cosФ y = R sin^x' = R cos（Y' = R sin（Ф+ Ф）

现在，针对 2 的 x' 和 y' 进行求解。 按三角加法公式：

x' = R（cosФcosФ – sinФsinФ） = RcosФcosФ – RsinФsinФ y' = R（sinФcosФ + cosФinФ） = RsinФcosФ + RcosФ

我们得到：

x' = xcos≤ – ysin≤y' = xsin≤ + ycos≤

对应于前面所示的转换点 P。

围绕任意点旋转

若要围绕原点（x，y）旋转，请使用以下矩阵。

可以通过将点 （x，y） 取为原点来派生此矩阵。

让 （x1， y1） 成为旋转点 （x0， y0） 围绕点 （x，y） 产生的点（x，y）。 我们可以按如下所示派生 x1。

x1 = （x0 – x）cos≤ （y0 – y）sin≤ + x x1 = x0cos≤ – y0sin≤ + [ （1 – cos++） + ysin++ ]

现在，使用此公式 x1 = ax0 + cy0 + e 从前面插入转换矩阵。 使用相同的过程来派生 y1。

倾斜变换

倾斜变换由四个参数定义：

• ：沿 x 轴倾斜的量，以 y 轴的角度测量。
• Ф：沿 y 轴倾斜的量，以 x 轴的角度测量。
• （px，py）：执行倾斜的点的 x 坐标和 y 坐标。

倾斜变换使用以下矩阵。

转换的点为：

P' = （x + ytanФ – pytanФ， y + xtanФ） – pytanФ

或等效：

P' = （x + （y – py）tanФ， y + （x – px）tanФ）

若要查看此转换的工作原理，请单独考虑每个组件。射线参数将 x 方向上的每一个点都移入等于 tan^ 的量。下图显示了 鲁斯与 x 轴倾斜之间的关系。

下面是应用于矩形的相同倾斜：

Ф 参数具有相同的效果，但沿 y 轴：

下图显示了应用于矩形的 y 轴倾斜。

最后，参数px，py沿 x 轴和 y 轴移动偏斜的中心点。

表示 Direct2D 中的转换

所有 Direct2D 转换都是仿射转换。Direct2D 不支持非仿射转换。转换由D2D1_MATRIX_3X2_F结构表示。此结构定义 3 × 2 矩阵。由于相交转换的第三列始终相同（[0,0,1]），并且由于 Direct2D 不支持非相交转换，因此无需指定整个 3 × 3 矩阵。在内部，Direct2D 使用 3 个× 3 个矩阵来计算转换。

D2D1_MATRIX_3X2_F的成员根据其索引位置命名：_11成员是元素（1,1），_12成员是元素（1,2），依此类推。尽管可以直接初始化结构成员，但建议使用D2D1：：Matrix3x2F类。此类继承D2D1_MATRIX_3X2_F，并提供用于创建任何基本相交转换的帮助程序方法。该类还定义了用于组合两个或多个转换的运算符*（），如在 Direct2D中应用转换中所述。

本文原文来自微软官方文档