三角函数参考笔记：定义、图像与应用

三角函数参考笔记：定义、图像与应用

引用

CSDN

1.

https://blog.csdn.net/DaPiCaoMin/article/details/140526576

本文是一篇关于三角函数的详细参考笔记，涵盖了三角函数的定义、图像分析、性质与公式以及实际应用等方面的内容。文章适合对数学感兴趣的读者阅读，特别是对高中数学中三角函数部分的学习具有重要参考价值。

1. 三角函数的定义与推导

1.1 直角三角形中的定义

在直角三角形中，设角θ是一个锐角，直角三角形的斜边长为c，对边长为a，邻边长为b。则三角函数定义如下：

1. 正弦函数（sine，sin）：$\sin(\theta) = \frac{\text{对边}}{\text{斜边}} = \frac{a}{c}$
2. 余弦函数（cosine，cos）：$\cos(\theta) = \frac{\text{邻边}}{\text{斜边}} = \frac{b}{c}$
3. 正切函数（tangent，tan）：$\tan(\theta) = \frac{\text{对边}}{\text{邻边}} = \frac{a}{b}$
4. 正割函数（secant，sec）：$\sec(\theta) = \frac{\text{斜边}}{\text{邻边}} = \frac{c}{b} = \frac{1}{\cos(\theta)}$
5. 余割函数（cosecant，csc）：$\csc(\theta) = \frac{\text{斜边}}{\text{对边}} = \frac{c}{a} = \frac{1}{\sin(\theta)}$
6. 余切函数（cotangent，cot）：$\cot(\theta) = \frac{\text{邻边}}{\text{对边}} = \frac{b}{a} = \frac{1}{\tan(\theta)}$

1.2 单位圆中的定义与推导

在单位圆中，设单位圆的半径为1，圆心在坐标原点（0, 0），角θ的顶点在原点，始边沿x轴正方向，终边与单位圆交于点P (x, y)。则：

1. 正弦函数：$\sin(\theta)$表示角θ的终边与y轴的交点的y坐标，因此：$\sin(\theta) = y$
2. 余弦函数：$\cos(\theta)$表示角θ的终边与x轴的交点的x坐标，因此：$\cos(\theta) = x$
3. 正切函数：$\tan(\theta)$表示正弦函数与余弦函数的比值，因此：$\tan(\theta) = \frac{\sin(\theta)}{\cos(\theta)} = \frac{y}{x}$
4. 正割函数：$\sec(\theta) = \frac{1}{\cos(\theta)} = \frac{1}{x}$
5. 余割函数：$\csc(\theta) = \frac{1}{\sin(\theta)} = \frac{1}{y}$
6. 余切函数：$\cot(\theta) = \frac{1}{\tan(\theta)} = \frac{x}{y}$

2.三角函数的图像分析

2.1 正弦函数图像

正弦函数$y = \sin(x)$的图像是一条波形曲线：

• 周期：正弦函数的周期是$2\pi$，即$\sin(x + 2\pi) = \sin(x)$。
• 振幅：正弦函数的振幅是1，即最大值为1，最小值为-1。
• 零点：正弦函数在$x = k\pi$处有零点，其中k为整数。

推导：利用单位圆，可以得到正弦函数在不同角度下的值。将这些值在坐标系中描点并连接，就得到了正弦函数的图像。

2.2 余弦函数图像

余弦函数$y = \cos(x)$的图像也是一条波形曲线：

• 周期：余弦函数的周期是$2\pi$，即$\cos(x + 2\pi) = \cos(x)$。
• 振幅：余弦函数的振幅是1，即最大值为1，最小值为-1。
• 零点：余弦函数在$x = (2k+1)\frac{\pi}{2}$处有零点，其中k为整数。

推导：同样利用单位圆，可以得到余弦函数在不同角度下的值。将这些值在坐标系中描点并连接，就得到了余弦函数的图像。

2.3 正切函数图像

正切函数$y = \tan(x)$的图像是一条反复无穷的曲线：

• 周期：正切函数的周期是$\pi$，即$\tan(x + \pi) = \tan(x)$。
• 零点：正切函数在$x = k\pi$处有零点，其中k为整数。
• 垂直渐近线：正切函数在$x = (2k+1)\frac{\pi}{2}$处有垂直渐近线，其中k为整数。

推导：利用正切函数的定义$\tan(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)}$，在单位圆中描点并连接，就得到了正切函数的图像。

2.4 正割函数图像

正割函数$y = \sec(x)$的图像是一条具有无限垂直渐近线的曲线：

• 周期：正割函数的周期是$2\pi$，即$\sec(x + 2\pi) = \sec(x)$。
• 零点：正割函数没有零点，因为余弦函数为零时，正割函数无定义。
• 垂直渐近线：正割函数在$x = (2k+1)\frac{\pi}{2}$处有垂直渐近线，其中k为整数。

推导：利用正割函数的定义$\sec(x) = \frac{1}{\cos(x)}$，当$\cos(x) = 0$时，正割函数无定义，因此在这些点有垂直渐近线。

2.5 余割函数图像

余割函数$y = \csc(x)$的图像是一条具有无限垂直渐近线的曲线：

• 周期：余割函数的周期是$2\pi$，即$\csc(x + 2\pi) = \csc(x)$。
• 零点：余割函数没有零点，因为正弦函数为零时，余割函数无定义。
• 垂直渐近线：余割函数在$x = k\pi$处有垂直渐近线，其中k为整数。

推导：利用余割函数的定义$\csc(x) = \frac{1}{\sin(x)}$，当$\sin(x) = 0$时，余割函数无定义，因此在这些点有垂直渐近线。

2.6 余切函数图像

余切函数$y = \cot(x)$的图像是一条反复无穷的曲线：

• 周期：余切函数的周期是$\pi$，即$\cot(x + \pi) = \cot(x)$。
• 零点：余切函数在$x = (2k+1)\frac{\pi}{2}$处有零点，其中k为整数。
• 垂直渐近线：余切函数在$x = k\pi$处有垂直渐近线，其中k为整数。

推导：利用余切函数的定义$\cot(x) = \frac{1}{\tan(x)} = \frac{\cos(x)}{\sin(x)}$，在单位圆中描点并连接，就得到了余切函数的图像。

3. 三角函数的性质与公式

3.1 周期性

1. 正弦和余弦函数的周期：正弦和余弦函数的周期是$2\pi$，即：

• $\sin(x + 2\pi) = \sin(x)$
• $\cos(x + 2\pi) = \cos(x)$

推导：这是由于单位圆的周长是$2\pi$，每过一个完整圆周，函数值重复。

1. 正切和余切函数的周期：正切和余切函数的周期是$\pi$，即：

• $\tan(x + \pi) = \tan(x)$
• $\cot(x + \pi) = \cot(x)$

推导：因为正切和余切函数是由正弦和余弦函数的比值构成，而$\pi$角的周期性导致它们的周期为$\pi$。

3.2 对称性

1. 奇偶性：

• 正弦函数是奇函数：$\sin(-x) = -\sin(x)$
• 余弦函数是偶函数：$\cos(-x) = \cos(x)$

推导：这是因为在单位圆中，$\theta$和$-\theta$的y坐标相反，但x坐标相同。

1. 正切函数的奇偶性：

• 正切函数是奇函数：$\tan(-x) = -\tan(x)$

推导：由正切函数的定义$\tan(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)}$和正弦、余弦函数的奇偶性可得。

3.3 和角公式

1. 正弦和角公式：

• $\sin(a + b) = \sin(a)\cos(b) + \cos(a)\sin(b)$

推导：考虑单位圆中的两个角a和b，根据它们的终边位置和正弦、余弦函数定义可以推导出上述公式。

1. 余弦和角公式：

• $\cos(a + b) = \cos(a)\cos(b) - \sin(a)\sin(b)$

推导：同样利用单位圆中的两个角a和b，根据它们的终边位置和正弦、余弦函数定义可以推导出上述公式。

1. 正切和角公式：

• $\tan(a + b) = \frac{\tan(a) + \tan(b)}{1 - \tan(a)\tan(b)}$

推导：利用正切函数的定义和正弦、余弦的和角公式，通过代数变换可以推导出上述公式。

3.4 倒数关系

1. 余割函数：

• $\csc(x) = \frac{1}{\sin(x)}$

2. 正割函数：

• $\sec(x) = \frac{1}{\cos(x)}$

3. 余切函数：

• $\cot(x) = \frac{1}{\tan(x)}$

推导：这些关系直接由三角函数的定义可以得出。

4. 三角函数的应用

4.1 波动和振动分析

• 波动方程：正弦和余弦函数常用于描述波动现象，例如：
• $y(x,t) = A \sin(kx - \omega t + \phi)$
  此公式表示在时间和空间中传播的波，A是振幅，k是波数，$\omega$是角频率，$\phi$是初相位。

4.2 信号处理

• 傅里叶变换：在信号处理领域，傅里叶变换将信号分解为不同频率的正弦和余弦分量：
• $F(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} f(t) e^{-i\omega t} dt$

4.3 天文学

• 天体运动：利用三角函数计算天体轨道和位置，例如计算太阳、月亮、行星的相对位置。

4.4 工程学中的结构分析

• 力分析：在建筑和机械工程中，三角函数用于分析力的方向和大小。例如，斜拉桥的力分析涉及正弦和余弦函数。