数一考研复习之拉格朗日中值定理在求解函数极限中的应用

数一考研复习之拉格朗日中值定理在求解函数极限中的应用

数一考研复习之拉格朗日中值定理在求解函数极限中的应用

最近在复习考研数学，只是简单做题过于乏味，因此便总结了一些笔记，后续若有空，也会将自己的复习笔记分享出来。本篇，我们将重点讲解拉格朗日中值定理在求解函数极限中的应用。同时,作者本人作为python领域创作者，还将在本文分享使用sympy求解高数中函数极限的方法,自此,日后的学习中除了desmos绘制图像外,我们又多了一个来验算我们求解极限结果是否正确的工具了。

极限考点

就一元函数极限来说,其在数一中常见的考点如下:
其中,无论是数列还是函数,极限值的求解往往是每年必出的题目。

函数极限求解技巧

1. 函数极限性质
2. 重要极限
3. 等价无穷小
4. 洛必达法则
5. 拉格朗日中值定理
6. 泰勒公式

这里要说明的是，在求解极限时，根据自变量的取值,我们可以将其分为：自变量趋于无穷大的极限,自变量趋于0的极限以及自变量趋于有限值x0的极限这三类。但是，实际上这三类在数一函数极限考察的范围内，最后统统都可以转换为自变量趋于0的极限。这是因为函数极限的求解中只有当自变量x趋于0时，泰勒公式才可以使用。而泰勒公式又是上边六种方法中的重点考察对象。毫不夸张地说，整个高数上册的极限都是围绕它所展开,实际上，数一中的函数极限题目，只要你愿意，没有什么是泰勒展开一下解决不了的。

拉格朗日中值定理回顾

拉格朗日中值定理:

设
在闭区间
上连续,在开区间
内可导,则至少存在一点
使
.

说明

拉格朗日中值定理的几何意义实际上就是若连续曲线**
，**
在点**
,**
之间的每一点处都有不垂直于x轴的切线**(函数在开区间
内可导),**
则曲线在A,B之间至少存在一点
使得该点处的切线与割线AB平行**
,**
即二者斜率相等。

拉格朗日中值定理拓展到求解函数极限

设三函数
都满足拉格朗日中值定理成立条件,那么：

其中,
介于
与
之间。

注意,若
，C为任意常数，那么直接将其替换为C即可，若我们将
看作x后
，C为任意常数,那么
可以看做关于x的函数,接着使用等价无穷小或泰勒公式展开来计算其结果。

以上便是拉格朗日定理求解函数极限的精髓。这里要注意的是，拉格朗日中值定理主要用来化简极限，并不能直接求解极限。

常见误区

在使用拉格朗日中值定理'化简'极限时，有三个坑要避开,主要集中在:

1. 原极限形式上不满足能够使用拉格朗日中值定理的样式。
2. 极限结果未定。
3. g(x)与h(x)不能为同一个函数的简单线性变换,比如g(x)=2x,h(x)=x。

例题

例子是最好的学习工具，接下来我将分享四道题目来阐明这一定理的常见误区,并给出每一步的详细结果。最后，我们还将使用python中的sympy库来求解上述四道极限题目来验证我们求解结果正确与否。

解：原式=

，其中
原式=
考虑到
介于
与
之间，即
原式=

sympy验证:

import sympy as sp
'''
sp.limit()函数参数详解:
e:极限表达式,使用定义过的变量和sp.函数名来书写
z:极限自变量
z0:极限自变量趋于的值
dir:左极限还是右极限,用'+','-'表示
'''
#定义x与y这两个符号变量
x=sp.Symbol('x')
y=sp.Symbol('y')
#极限表达式
expression=(sp.cos(sp.sin(x))-(sp.cos(x)))/(x**4)
print(f'原式极限={sp.limit(e=expression,z=x,z0=0)}')#使用sp.limit求解

结果: