匀速圆周运动的数学描述

匀速圆周运动的数学描述

匀速圆周运动是物理学中一个基本而重要的概念，它描述了物体沿圆形路径以恒定速度运动的规律。本文将从几何角度解释向心加速度的来源，并通过参数方程详细推导速度和加速度的表达式。

1. 匀速圆周运动的几何解释

考虑一个物体在半径为r的圆形路径中以恒定大小的速度s移动。

建立一个二维坐标系，物体位于平面上，圆心在原点上。物体的瞬时速度v(t)总是与其运动轨迹相切，所以物体任意时刻的速度与轨迹圆相切，并且速度的大小：$|v\left(t\right)|=s$$|v(t)|=s$

下图右侧的两个三角形，上边的三角形表示在一段时间间隔$\mathrm{\Delta }t$$\Delta t$内位置的变化，这是一个等腰三角形，腰长为r,底为$\mathrm{\Delta }p$$\Delta p$。

下边的三角形表示在一段时间间隔$\mathrm{\Delta }t$$\Delta t$内速度的变化，这也是一个等腰三角形，腰长为s,底为$\mathrm{\Delta }v$$\Delta v$。

这两个三角形是相似三角形，所以有以下关系：

$\frac{|\mathrm{\Delta }v|}{s}=\frac{|\mathrm{\Delta }p|}{r}$$\frac{|\Delta v|}{s} = \frac{|\Delta p|}{r}$

考虑$\mathrm{\Delta }t$$\Delta t$和$\mathrm{\Delta }\theta$$\Delta \theta$非常小的情况下：

$\underset{\mathrm{\Delta }t\to 0}{lim}|\mathrm{\Delta }p|=s\mathrm{\Delta }t$$\lim_{\Delta t \to 0}|\Delta p|=s{\Delta t}$

$\frac{|\mathrm{\Delta }v|}{s}=\frac{|\mathrm{\Delta }p|}{r}$$\frac{|\Delta v|}{s} = \frac{|\Delta p|}{r}$

$\underset{\mathrm{\Delta }t\to 0}{lim}\frac{|\mathrm{\Delta }v|}{s}=\frac{s\mathrm{\Delta }t}{r}$$\lim_{\Delta t \to 0}\frac{|\Delta v|}{s}=\frac{s\Delta t}{r}$

$\underset{\mathrm{\Delta }t\to 0}{lim}\frac{|\mathrm{\Delta }v|}{\mathrm{\Delta }t}=\frac{{s}^{2}}{r}$$\lim_{\Delta t \to 0}\frac{|\Delta v|}{\Delta t}=\frac{s^2}{r}$

所以加速度的大小是$\frac{{s}^{2}}{r}$$\frac{s^2}{r}$。加速的的方向是什么？通过比较$p\left(t\right)$$p(t)$和$\mathrm{\Delta }v$$\Delta v$，在$\theta$$\theta$趋于0时，他们指向完全相反的方向，所以加速度总是朝向圆心，这就是为什么它被称为向心加速度。

2. 参数方程表示

$x\left(t\right)=r\mathrm{cos}\left(\theta \left(t\right)\right)=r\mathrm{cos}\left({\theta }_{0}+\omega t\right)$$x(t) = r \cos(\theta(t)) = r \cos(\theta_0 + \omega t)$

$y\left(t\right)=r\mathrm{sin}\left(\theta \left(t\right)\right)=r\mathrm{sin}\left({\theta }_{0}+\omega t\right)$$y(t) = r \sin(\theta(t)) = r \sin(\theta_0 + \omega t)$

速度是位置函数的导数，通过微分这两个方程得到速度方程：

$\stackrel{˙}{x}\left(t\right)=\frac{d}{dt}\left(r\mathrm{cos}\left({\theta }_{0}+\omega t\right)\right)=-r\omega \mathrm{sin}\left({\theta }_{0}+\omega t\right)$$\dot{x}(t) = \frac{d}{dt} (r \cos(\theta_0 + \omega t)) = -r\omega \sin(\theta_0 + \omega t)$

$\stackrel{˙}{y}\left(t\right)=\frac{d}{dt}\left(r\mathrm{sin}\left({\theta }_{0}+\omega t\right)\right)=r\omega \mathrm{cos}\left({\theta }_{0}+\omega t\right)$$\dot{y}(t) = \frac{d}{dt} (r \sin(\theta_0 + \omega t)) = r\omega \cos(\theta_0 + \omega t)$

再次微分得到加速度方程：

$\stackrel{¨}{x}\left(t\right)=\frac{d}{dt}\left(-r\omega \mathrm{sin}\left({\theta }_{0}+\omega t\right)\right)=-r{\omega }^{2}\mathrm{cos}\left({\theta }_{0}+\omega t\right)$$\ddot{x}(t) = \frac{d}{dt} (-r\omega \sin(\theta_0 + \omega t)) = -r\omega^2 \cos(\theta_0 + \omega t)$

$\stackrel{¨}{y}\left(t\right)=\frac{d}{dt}\left(r\omega \mathrm{cos}\left({\theta }_{0}+\omega t\right)\right)=-r{\omega }^{2}\mathrm{sin}\left({\theta }_{0}+\omega t\right)$$\ddot{y}(t) = \frac{d}{dt} (r\omega \cos(\theta_0 + \omega t)) = -r\omega^2 \sin(\theta_0 + \omega t)$