泰勒展开：函数的局部线性化神器——像“微观镜”下的函数近似

泰勒展开：函数的局部线性化神器——像“微观镜”下的函数近似

引用

CSDN

1.

https://m.blog.csdn.net/qq_37148940/article/details/144449614

泰勒展开是数学分析中一个重要的概念，它允许我们用多项式函数来近似表示其他函数。这种近似方法在科学研究、工程计算以及机器学习等领域都有广泛的应用。本文将从基本概念出发，通过类比和实例，深入浅出地介绍泰勒展开的核心思想，并附带Python代码实现可视化效果。

泰勒展开与局部线性化的类比与核心概念

泰勒展开就像是一台“微观镜”，它让我们能够近距离地观察函数在某一点附近的行为，通过多项式近似来实现函数的局部线性化。这就像是在复杂的地形中，用一条直线来近似表示一小段弯曲的道路，虽然不能完全替代原路，但在小范围内却足够精确。

核心概念

优势与劣势

泰勒展开与函数近似的类比

泰勒展开在函数近似中扮演着“微观画家”的角色，它用多项式作为“画笔”，在函数某点附近绘制出一幅精确的“画像”。这幅“画像”虽然只是原函数的一小部分，但在小范围内却足以以假乱真。

公式探索与推演运算

泰勒展开的基本形式

泰勒展开的基本形式为：

$$
f(x) \approx f(a) + f'(a)(x - a) + \frac{f''(a)}{2!}(x - a)^2 + \frac{f'''(a)}{3!}(x - a)^3 + \cdots
$$

其中，$f(x)$是原函数，$a$是展开点，$f'(a)$、$f''(a)$、$f'''(a)$等是函数在$a$点的各阶导数。

局部线性化

当只取泰勒展开的前两项时，就得到了函数的局部线性化：

$$
f(x) \approx f(a) + f'(a)(x - a)
$$

这是一个一次多项式，表示函数在$a$点附近的线性近似。

具体实例与推演

以函数$f(x) = e^x$为例，在$x = 0$点进行泰勒展开：

1. 计算各阶导数：

• $f(x) = e^x$
• $f'(x) = e^x$
• $f''(x) = e^x$
• …
  在$x = 0$时，$f(0) = 1, f'(0) = 1, f''(0) = 1, \ldots$

2. 写出泰勒展开式：

$$
e^x \approx 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots
$$

3. 局部线性化：

只取前两项，得到：

$$
e^x \approx 1 + x
$$

这就是$e^x$在$x = 0$点附近的线性近似。

相似公式比对

核心代码与可视化

下面是一个使用Python和Matplotlib库进行泰勒展开和局部线性化可视化的示例代码。我们以函数$f(x) = e^x$在$x = 0$点进行展开为例。

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
import seaborn as sns

# 定义函数f(x)和其各阶导数
def f(x):
    return np.exp(x)

def f_prime(x):
    return np.exp(x)

# 定义泰勒展开的点a
a = 0

# 生成x的取值范围
x = np.linspace(-2, 2, 400)

# 计算原函数值
y_original = f(x)

# 计算泰勒展开的前两项（局部线性化）
y_taylor_linear = f(a) + f_prime(a) * (x - a)

# 可视化结果
sns.set_theme(style="whitegrid")
plt.plot(x, y_original, label='Original Function $e^x$')
plt.plot(x, y_taylor_linear, label='Taylor Expansion (Linear Approximation)', linestyle='--')
plt.axvline(x=a, color='gray', linestyle='-.', label='Expansion Point $x=0$')
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('y')
plt.title('Taylor Expansion and Local Linearization of $e^x$ at $x=0$')
plt.legend()

# 添加重点区域的标注
plt.annotate('Original Function', xy=(1, f(1)), xytext=(0.6, 0.9), textcoords='axes fraction',
             bbox=dict(boxstyle='round,pad=0.5', fc='blue', alpha=0.5),
             arrowprops=dict(arrowstyle='->', connectionstyle='arc3,rad=0'))
plt.annotate('Linear Approximation', xy=(1, f(a) + f_prime(a) * (1 - a)), xytext=(0.6, 0.8), textcoords='axes fraction',
             bbox=dict(boxstyle='round,pad=0.5', fc='red', alpha=0.5),
             arrowprops=dict(arrowstyle='->', connectionstyle='arc3,rad=0'))
plt.show()

# 打印详细的输出信息
print(f"Original Function at x=1: {f(1):.4f}")
print(f"Linear Approximation at x=1: {f(a) + f_prime(a) * (1 - a):.4f}")

输出内容：