数学建模：人口增长问题（基于指数增长模型和阻滞增长模型）

数学建模：人口增长问题（基于指数增长模型和阻滞增长模型）

引用

CSDN

1.

https://blog.csdn.net/m0_73695862/article/details/137980938

问题描述

利用下表人口数据做一个人口数量预测模型

指数增长模型

问题分析

首先对数据进行可视化分析，我们以10年为间隔取一次人口数量，如果我们取样间隔过短可能会导致数值太过密集，导致不容易看出人口数量随时间的分布情况。通过对时间和人口数量作图得到下图。

图1 通过此图可以看出，人口数量和事件之间存在着指数关系，我们可以利用指数模型来预测人口。

模型假设

1. 设(x(t))为(t)时刻人口数量，且(x(t))连续可微。
2. 人口增长率(r)为常量

模型实现

记初始时刻（(t=0)时）人口数量为(x_0)，在(dt)时间内人口增长(dx = r x dt)。通过上述条件可以得到一个微分方程组：

[
\begin{cases}
\frac{dx}{dt}=rx\
x(0) = x_0\
\end{cases}
]

通过解上述微分方程得到(x(t) = x_0e^{rt})，接下来通过最小二乘法对参数(r, x_0)进行估计，将上面(x)与(t)的关系两边取对数得到

[y = rt + a, \quad y = \ln x, \quad a = \ln x_0]

根据人口数据（因为指数模型并不适合预测较长时期的人口，所以将1970年作为(t=0)），编程计算得到(r = 0.0196, x_0 = 6.049)，代码如下

plot(t,x,'o');
xlabel('时间/年')
ylabel('人口数量/亿')
n=size(t,1);
c = zeros(n,1)+1;
t0 = [c,t];
y = log(x);
B = inv(t0'*t0)*t0'*y;
r=B(2);
x0=exp(B(1));
f = @(t) x0*exp(r*t);
hold on;
fplot(f,[0,220]);

得到结果图为

图2

模型检验

计算MSE得到(MSE = 2.1 \times 10^3)，计算代码如下

x_hat = f(t);
mse = (x - x_hat)'*(x - x_hat)/n;

计算得到MSE较大，因为我们所使用的数据数值较大，所以计算某一年预测值的相对误差的结果更有说服力。计算在2000年的相对误差

[error = \frac{|x_{hat}(2000) - x(2000)|}{x(2000)} = 0.38]

可以看出普通指数模型不是特别好。

阻滞增长模型

问题分析

观察图2可以发现，人口的变化率(r)并不是不变的，因为资源受限等问题，人口变化率(r)随着人口数量的增加而减少，成反比例关系，这说明我们在上面的假设中出现了错误，所以要更改假设内容。

问题假设

1. 人口变化率(r)与人口数量(x)成反比例变化关系，即(r = r_0 - kx)
2. 人口数量受环境影响，人口最大承受量为(x_m)
3. 设(x(t))为(t)时刻人口数量，且(x(t))连续可微。

模型实现

由假设可知(x = x_m)时，(r = r_0 - kx_m = 0)解出(k = \frac{r_0}{x_m})，可以得到下列方程组：

[
\begin{cases}
\frac{dx}{dt}=rx(1-\frac{x}{x_m})\
x(0)=x_0\
\end{cases}
]

参数估计

一、非线性最小二乘估计

通过解上述微分方程得到

[x(t) = \frac{x_m}{1+\left( \frac{x_m}{x_0}-1 \right) e^{-rt}}]

利用MATLAB拟合工具箱拟合得到(r = 0.02681, x_m = 370)。结果如下图

图3 可以观察到结果与指数增长模型比较啊v的了较好效果。

二、线性最小二乘估计

对上面的微分方程进行变换得到

[\frac{1}{x}\frac{dx}{dt}=r-\frac{r}{x_m}x]

为线性关系，可以利用线性最小二乘法拟合。利用MATLAB拟合得到(r = 0.0288, x_m = 299.439)，代码如下：

figure(2);
plot(t,x,'o');
xlabel('时间/年')
ylabel('人口数量/亿')
hold on;
dx = diff(x)/10;
y = dx./x(2:end);
t = t(2:end);
c = zeros(n-1,1)+1;
t0 = [c,t];
B = inv(t0'*t0)*t0'*y;
r=B(1);
xm = -B(1)/B(2);
f2 = @(z) xm/(1+(xm/3.9-1)*exp(-r*z));
fplot(f2,[0,220]);

结果图：

图4 通过观察图3和图4可以看出图3的效果要好于图4的效果，因为图4在计算微分时并不是实际的微分而是利用以10年为间隔的差分。所以拟合效果较差。

模型检验

在模型检验时利用非线性最小二乘估计的参数作为最终的参数。还是和模型一一样利用2000年的人口数量进行检验。得到相对误差为1.6%。可以看出解出的模型效果不错。