三角函数及其常用公式

三角函数及其常用公式

引用

CSDN

1.

https://blog.csdn.net/mtc1170824134/article/details/139361968

三角函数是数学中属于初等函数中的超越函数的一类函数。它们的本质是任何角的集合与一个比值的集合的变量之间的映射。通常的三角函数是在平面直角坐标系中定义的。其定义域为整个实数域。

三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在。

常用三角函数

• 正弦：sine（简写sin）[sain]
• sinα = b/c
• 余弦：cosine（简写cos）[kəusain]
• cosα = a/c
• 正切：tangent（简写tan）['tændʒənt]
• tanα =a/b
• 余切：cotangent（简写cot）['kəu’tændʒənt]
• cotα =b/a
• 正割：secant（简写sec）['si:kənt]
• secα = c/a
• 余割：cosecant（简写csc）['kau’si:kənt]
• csc = c/b

直角三角函数 （∠α是锐角）

三角函数关系

• tanα ·cotα=1
• sinα ·cscα=1
• cosα ·secα=1
• sinα/cosα=tanα
• sin²α+cos²α=1

特殊值

重要定理

正弦定理：

在△ABC中，a / sin A = b / sin B = c / sin C = 2R

其中，R为△ABC的外接圆的半径。

推导：

如上图三角形△ABC，做辅助线CD垂直于AB，则CD长度为bsinA = asinB,所以a/sinA = b/sinB；同理可证：a/sinA = c/sinC，所以a / sin A = b / sin B = c / sin C

如上图做三角形△ABC的外切圆，其圆心为点O，连接CO并延长，交外切圆于点E，连接AE，根据直径所对圆周角是直角及同弧所对圆周角相等，可得:∠CAE=90°，∠E=∠B，所以sinB = sinE = b/2R，所以b/sinB = 2R，所以a / sin A = b / sin B = c / sin C = 2R

余弦定理：

余弦定理：在△ABC中，c^2 = a^2 + b^2 - 2ab cosC。

其中，C为边a与边b的夹角。

推导：

如上图三角形△ABC，做辅助线CD垂直于AB，

则c = b cosA + a cosB，同时乘以c得：c^2 = bc cosA + ac cosB

同样：b = c cosA + a cosC，a = b cosC + c cosB，

b^2 = bc cosA + ab cosC，a^2 =ab cosC + ac cosB，

所以：a^2 + b^2 = c^2 + 2ab cosC

所以：c^2 = a^2 + b^2 - 2ab cosC

常用公式

三角函数的诱导公式（六公式）

公式一：

设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等:

• sin(α+k2π)=sinα （k为整数）
• cos(α+k2π)=cosα（k为整数）
• tan(α+k*2π)=tanα（k为整数）

公式二

设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系:

• sin[(2k+1)π+α]=-sinα
• cos[(2k+1)π+α]=-cosα
• tan[(2k+1)π+α]=tanα
• cot[(2k+1)π+α]=cotα

公式三

任意角α与-α的三角函数值之间的关系:

• sin(2kπ-α)=-sinα
• cos(2kπ-α)=cosα
• tan(2kπ-α)=-tanα
• cot(2kπ-α)=-cotα

公式四

利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系:

• sin[(2k+1)π-α]=sinα
• cos[(2k+1)π-α]=-cosα
• tan[(2k+1)π-α]=-tanα
• cot[(2k+1)π-α]=-cotα

公式五:

利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系:

• sin(2kπ-α)=-sinα
• cos(2kπ-α)=cosα
• tan(2kπ-α)=-tanα
• cot(2kπ-α)=-cotα

公式六:

π/2±α与α的三角函数值之间的关系:

• sin(π/2+α)=cosα
• cos(π/2+α)=-sinα
• tan(π/2+α)=-cotα
• cot(π/2+α)=-tanα
• sin(π/2-α)=cosα
• cos(π/2-α)=sinα
• tan(π/2-α)=cotα
• cot(π/2-α)=tanα

诱导公式记背诀窍：奇变偶不变，符号看象限。

或者也可以这样记：分变整不变，符号看象限。

积化和差的四个公式

• sinαcosβ = （sin(α+β)+ sin(α-β) )/2
• cosαsinβ = （sin(α+β)- sin(α-β) )/2
• cosαcosβ = （cos(α+β)+ cos(α-β) )/2
• sinαsinβ = -（cos(α+β)- cos(α-β) )/2

推导：

如图，ABDF为矩形，∠ACE为90°，∠CAE角度为α，∠BAC角度为β，

则∠AEF角度为α+β，∠DCE角度为β，

设AE=1，

则 AF=sin(α+β)，CE=sinα，AC=cosα，CD=sinαcosβ，BC=cosαsinβ，EF= cos(α+β)，DE= sinαsinβ，AB= cosαcosβ

由AF=BD知：sin(α+β)= sinαcosβ+ cosαsinβ

由AB=DF知，cos(α+β)= cosαcosβ- sinαsinβ

所以：

• sin(α-β)= sinαcosβ- cosαsinβ
• cos(α-β)= cosαcosβ+ sinαsinβ

所以：

• sinαcosβ = （sin(α+β)+ sin(α-β) )/2
• cosαsinβ = （sin(α+β)- sin(α-β) )/2
• cosαcosβ = （cos(α+β)+ cos(α-β) )/2
• sinαsinβ = -（cos(α+β)- cos(α-β) )/2

如下图

和差化积的四个公式：

• sin a + sin b = 2sin((a+b)/2)cos((a-b)/2)
• sin a - sin b = 2 cos((a+b)/2)sin((a-b)/2)
• cos a + cos b = 2cos((a+b)/2)cos((a-b)/2)
• sin a + sin b = -2sin((a+b)/2)sin((a-b)/2)

推导：

和差化积公式可有积化和差公式推出，设α+β=a，α-β=b，则

α=(a-b)/2，β=(a-b)/2

所以:

• sin a = sin(α+β)=sin((a+b)/2)cos((a-b)/2) + cos((a+b)/2)sin((a-b)/2)
• sin b = sin(α-β)= sin((a+b)/2)cos((a-b)/2) - cos((a+b)/2)sin((a-b)/2)
• cos a = cos(α+β)=cos((a+b)/2) cos((a-b)/2) - sin((a+b)/2)sin((a-b)/2)
• cos b = cos(α-β)=cos((a+b)/2) cos((a-b)/2) + sin((a+b)/2)sin((a-b)/2)

所以：

• sin a + sin b = 2sin((a+b)/2)cos((a+b)/2)
• sin a - sin b = 2 cos((a+b)/2)sin((a+b)/2)
• cos a + cos b = 2cos((a+b)/2)cos((a+b)/2)
• sin a + sin b = -2sin((a+b)/2) sin((a+b)/2)

三角和公式

• sin（α+β+γ）=sinα·cosβ·cosγ+cosα·sinβ·cosγ+cosα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·sinγ
• cos（α+β+γ）=cosα·cosβ·cosγ-cosα·sinβ·sinγ-sinα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·cosγ
• tan（α+β+γ）=（tanα+tanβ+tanγ-tanα·tanβ·tanγ）/（1-tanα·tanβ-tanβ·tanγ-tanα·tanγ）

（α+β+γ≠π/2+2kπ，α、β、γ≠π/2+2kπ）

特殊公式

（sina+sinθ）（sina-sinθ）=sin（a+θ）sin（a-θ）

证明：（sina+sinθ）（sina-sinθ）=2 sin[（θ+a)/2] cos[(a-θ)/2] *2 cos[（θ+a)/2] sin[(a-θ）/2]

=sin（a+θ）sin（a-θ）

坡度公式

我们通常把坡面的垂直高度h与水平宽度l的比叫做坡度（也叫坡比）， 用字母i表示，

即i=h / l,坡度的一般形式写成l : m形式，如i=1:5.如果把坡面与水平面的夹角记作

a（叫做坡角），那么i=h/l=tan a.

辅助角公式

注：该公式又称收缩公式 / 强提公式 / 化一公式 等

• asin α+bcos α=√(a^2 +b^2)sin(α+φ)，其中tan φ=b/a
• asinA+bcosB=根号下a方+b方×（根号下a方+b方分之a×sinA+根号下a方+b方分之b×cosB) 令根号下a方+b方分之a=cosC 则根号下a方+b方分之b=sinC asinA+bcosB=根号下a方+b方（sinAcosC+cosBsinC)=根号下a方+b方×sin(A+C)

双曲函数

• sh a = [e^a- e^(-a)]/2
• ch a = [e^a+ e^(-a)]/2
• th a = sin h(a)/cos h(a)

反三角函数公式

• arcsin(-x)= -arcsinx
• arccos(-x)=π-arccosx
• arctan(-x)= -arctanx
• arccot(-x)=π-arccotx
• arcsinx+arccosx=arctanx+arccotx=π/2