如何快速判断函数的奇偶性？

如何快速判断函数的奇偶性？

函数的奇偶性是高中数学中的一个重要概念，它不仅帮助我们更好地理解函数的性质，还在解题过程中发挥着重要作用。本文将从定义出发，通过具体例子，深入探讨如何快速判断函数的奇偶性，并展示其在解题中的应用。

奇偶性一般不会单独出题，它往往会与其他条件结合，让你求解析式、求最值、求周期等。奇偶性的判断方法主要是定义，一般地，如果对于函数(f(x))的定义域内任意一个(x)，都有(f(-x)=f(x))，那么函数(f(x))就叫偶函数；如果对于函数(f(x))的定义域内任意一个(x)，都有(f(-x)=-f(x))，那么函数(f(x))就叫奇函数。

从图像特征看，奇函数是关于原点对称的，偶函数是关于(y)轴对称的。从这个角度讲，如果一个函数的定义域不是关于原点对称，则这个函数一定不是奇（或偶）函数。

这里面有一个知识点，就是定义域关于原点对称，并不意味着定义域是全体实数，函数在0点可以有定义，也可以没有定义。特别地，如果是奇函数，并且在0点有定义，则一定有(f(0)=0)，这个往往是题目给你的隐含条件，一定要记住。

对于两个函数的合、差、积、商后的奇偶性，可以简单由正、负数的运算规则来记，即偶函数看成正数，奇函数看成负数，两个偶函数加减乘除后，仍是偶函数；两个奇函数加减后，仍是奇函数，但乘除后，就是偶函数。

如果是复合函数，只要有一个是偶函数，复合函数就是偶函数；如果一个偶函数都没有，复合函数就是奇函数。

下面先看几个简单例子：

通过上面例题，我们知道，函数不一定就有奇偶性，除了奇函数、偶函数，函数还可以是非奇非偶的，那么有没有即奇又偶的呢？答案是肯定的。看到这，如果你从未想过这个问题，现在可以想想，什么函数是即奇又偶的，这样的函数有多少个呢？

我们知道，函数是一种映射规则，不能以为含有代数表达式的才是函数解析式。对于下面这个：

前面讲了，奇偶性往往是与其他条件结合起来出题，比如我们前面讲过的求函数解析式。

上面这道题比较简单，下面这道例题也是求解析式，但就深入到奇偶性的定义中去了。

讲到这，函数的三大要素和三大性质只剩下周期性还没讲，但可以做一些函数综合类的题了，下面这道题就是基础性的综合题，可以把前面讲过的内容复习巩固，并加深理解和认识。

对于第一问，是抽象函数，不能用定义直接证明，但可以使用条件间接证明，这里要强调的，函数题不管三七二十一，分析定义域是第一要务。

对于第二问，在讲函数单调性时，专门讲过使用定义法来证明函数单调性的三步曲，这里正好复习一遍，具体步骤如下：

对于第二问求单调性，关键的第二步过程中，我们人为地构造了一个大于0的自变量，是用的作差法，大家可以回看一下前面单调性一讲中的例2，《高中数学—函数（四、三大性质之单调性）》（点击跳转），我们当时作商构造了一个大于1的自变量。实际上，一般就两这种构造，是作差还是作商，要根据题目给你的条件来定，将来在导数的双变量问题中，也是这两种方法，差值换元和比值换元，到时再详讲。

最后，我们来看这道题第三问。有了函数单调性，那么最值就好办了。因为函数在整个定义域都是单调递减的，那么在题目指定的区间也同样是单调递减的，则在-3处取得最大值，在6处取得最小值。