矩阵乘法有交换律吗？

创作时间:

作者:

@小白创作中心

矩阵乘法有交换律吗？

引用

来源

https://www.xqfhp.com/Question/24426/

矩阵乘法是线性代数中的核心概念之一，广泛应用于计算机图形学、机器学习、物理学等多个领域。然而，与我们熟悉的实数乘法不同，矩阵乘法是否满足交换律？本文将从定义出发，通过具体例子，深入探讨这一重要问题。

什么是交换律？

首先，明确一下交换律的定义。一个运算满足交换律，意味着运算对象的顺序可以改变，而结果保持不变。例如，实数乘法满足交换律，即 a b = b a，无论 a 和 b 的值是多少，等式始终成立。

矩阵乘法的定义

在探讨矩阵乘法是否满足交换律之前，有必要回顾一下矩阵乘法的定义。设有两个矩阵 A 和 B，其中 A 是一个 m × n 矩阵（m 行 n 列），B 是一个 n × p 矩阵（n 行 p 列）。这两个矩阵的乘积 C = AB 是一个 m × p 矩阵，其元素 cij定义为：

cij= ai1b1j+ ai2b2j+ ... + ainbnj= ∑k=1naikbkj

也就是说，矩阵 C 的第 i 行第 j 列的元素，等于矩阵 A 的第 i 行的元素与矩阵 B 的第 j 列的元素对应相乘再求和。

矩阵乘法不满足交换律的原因

从矩阵乘法的定义中可以窥见，矩阵乘法不满足交换律的原因主要有两个：

维度不匹配：首先，即使两个矩阵 A 和 B 可以相乘得到 AB，反过来，BA 也未必有意义。AB 存在的前提是 A 的列数等于 B 的行数，而 BA 存在的前提是 B 的列数等于 A 的行数。只有当 A 和 B 都是方阵，且维度相同时，AB 和 BA 都有意义。
即使维度匹配，结果也可能不同：即使 AB 和 BA 都有意义，即 A 和 B 都是同维度的方阵，通常情况下，AB ≠ BA。矩阵乘法的计算方式决定了即使两个矩阵的元素相同，但由于相乘的顺序不同，最终得到的结果矩阵的元素也不同。

举例说明

为了更直观地理解这一点，我们来看一个简单的例子。设有两个 2 × 2 矩阵：

A = [ 1 2 ]
[ 3 4 ]
B = [ 5 6 ]
[ 7 8 ]

则：

AB = [ (1\5 + 2\7) (1\6 + 2\8) ] = [ 19 22 ]
[ (3\5 + 4\7) (3\6 + 4\8) ] [ 43 50 ]
BA = [ (5\1 + 6\3) (5\2 + 6\4) ] = [ 23 34 ]
[ (7\1 + 8\3) (7\2 + 8\4) ] [ 31 46 ]

可以看到，AB 和 BA 的结果矩阵是完全不同的。这清楚地表明，即使 A 和 B 都是方阵且维度相同，矩阵乘法也不满足交换律。

矩阵乘法满足交换律的特殊情况

尽管一般情况下矩阵乘法不满足交换律，但在某些特殊情况下，交换律是成立的。以下是一些例子：

对角矩阵：如果 A 和 B 都是对角矩阵，即只有对角线上的元素非零，其余元素均为零，那么 AB = BA。这是因为对角矩阵相乘，实际上就是对角线上的元素对应相乘，而实数乘法满足交换律。
单位矩阵：如果 A 是任意矩阵，I 是单位矩阵（对角线上元素为 1，其余元素为 0），则 AI = IA = A。单位矩阵在矩阵乘法中扮演着类似于数字 1 在实数乘法中的角色。
A 和 B 互为逆矩阵：如果 B 是 A 的逆矩阵，即 AB = BA = I，其中 I 是单位矩阵，那么 A 和 B 满足交换律。
A 和 B 都是数量矩阵：如果 A 和 B 都是数量矩阵（即 A = kI, B = lI，k,l为常数，I是单位矩阵），那么AB = BA = klI.
A 和 B 都是零矩阵：显然AB = BA = 0。

矩阵乘法交换律的意义

理解矩阵乘法是否满足交换律，对于理解线性代数及其应用至关重要。在实际应用中，如果忽略矩阵乘法不满足交换律的特性，可能会导致错误的计算结果和错误的结论。例如，在计算机图形学中，矩阵常被用于表示变换（例如旋转、缩放、平移）。如果矩阵乘法的顺序错误，可能会导致图形变换错误，从而产生视觉上的偏差。在控制理论中，矩阵用于描述系统的状态转移，矩阵乘法顺序的错误可能导致控制策略失效。