矩形波（方波）的傅里叶级数展开式
矩形波（方波）的傅里叶级数展开式
在信号处理和通信工程领域，傅里叶级数是分析周期信号的重要工具。本文详细介绍了矩形波（方波）的傅里叶级数展开式的理论基础和具体推导过程，帮助读者理解如何将矩形波分解为一系列正弦和余弦函数的和。
一、为什么用傅里叶级数展开式来描述矩形波
原因：矩形波是周期函数的一种。法国数学家傅里叶提出，任何周期函数都可以分解成一系列正弦函数和余弦函数的和。这些正弦函数和余弦函数称为基函数，它们构成一个正交函数集，可以用于重建原始函数。
这一结论后来被进一步补充，只有在满足狄利克雷条件时，上述才成立。
狄利克雷条件
1、周期函数在一周期内连续或只有有限个第一类间断点。
2、周期函数在一周期内极大值和极小值的数目应是有限个。
3、周期函数在一周期内信号是绝对可积的。
二、傅里叶级数的展开为什么选用三角函数
对于一个系统，一个正弦信号输入后，输出仍是一个正弦信号，只有幅值和相位可能发生改变，但频率和幅值没有变化。也就是说，正弦信号是系统的特征向量。当输入信号是方波、三角波或其他别的波形，输出信号形状会发生变化，不满足要求。
此外，指数信号也是系统的特征向量，因此傅里叶级数也有对应的指数形式。
三、傅里叶级数的展开式
， 式（1）
是直流分量，再求出
和
，即可用傅里叶级数的展开式来表示矩形波。
四、傅里叶级数展开式系数
表示在一周期内的
平均值，故
， 式（2）
在式（1）两边同时乘以
，并对他们在一个周期内进行积分得：
, 式（3）
由于三角函数在一个周期内积分为0，故
， 式（4）
由积化和差公式得：
，故
， 式（5）
只有当k=n时，
， 式（6）
注：此积分是在一个周期内
将式（4），式（5）和式（6）代入式（3）
， 式（7）
注：此时k=n。
依上式可推出，
， 式（8）
五、矩形波的傅里叶级数展开
图（1）
在一个周期内，f（t）表达式如下：
， 式（9）
将式（9）代入式（2）得:
， 式（10）
即无直流偏置
将式（9）代入式（8）得:
， 式（11）
注：上式的变换公式中打不出积分变量的竖杠，因此用大括号代替。
将式（9）代入式（7）得：
， 式（12）
注：
将式（10）、式（11）和式（12）带入式（1）可得图（1）示有占空比的矩形波的傅里叶级数展开式如下：
, 式（13）
若D=1,则
, 式（14）
将式（10）、式（11）和式（14）带入式（1）得占空比为1的矩形波傅里叶级数展开式为
, 式（15）
参考资料：
1、傅里叶变换推导详解 - 知乎
2、方波信号傅里叶级数展开_方波的傅里叶级数-CSDN博客
3、傅里叶变换（1807年傅里叶提出概念）_百度百科