力矩：从物理学基础到工程应用
力矩：从物理学基础到工程应用
力矩是力对物体产生转动作用的物理量，是物理学中一个重要的概念。从古希腊时期阿基米德对杠杆原理的研究，到现代工程学、地质学等领域的应用，力矩理论在科学和技术发展中扮演着重要角色。本文将详细介绍力矩的定义、性质、相关原理和实际应用，帮助读者全面理解这一物理概念。
定义
力矩是力对物体产生转动作用的物理量，力矩大小为径向矢量与作用力的叉积。在国际单位制中，力矩的单位是牛顿·米。
力对点的力矩
在选定的参照系中，从参照点 (O) 指向力的作用点 (P) 的矢量 (\vec{r}) 与作用力 (\vec{F}) 的矢积称为作用力对于参照点 (O) 的力矩 (\vec{M})，即：
[
\vec{M} = \vec{r} \times \vec{F}
]
力对轴的力矩
对于有固定轴的刚体，由于转轴的约束，平行于转轴的力或作用线通过转轴的力都不能使刚体转动。设力 (\vec{F}) 作用于刚体上的某质点 (P) 且在其转动平面上，转动平面与转轴相交于 (O) 点，如下图所示，转轴与力的作用线之间的垂直距离 (d) 称为该力对转轴的力臂。力的大小与力臂的乘积称为力对转轴的力矩，即：
[
M = Fd
]
若以 (\vec{r}) 表示 (O) 点对 (P) 点的位矢，以 (\theta) 表示 (\vec{r}) 与 (\vec{F}) 之间的夹角，则：
[
M = Fr\sin\theta
]
即：
[
M = F_{\perp}r
]
其中，(F_{\perp}) 是 (\vec{F}) 的切向分量。刚体定轴转动过程中，为了更为确切地表示力矩、力和作用点位置三者之间的大小和方向关系，可用矢积来表示，即：
[
\vec{M} = \vec{r} \times \vec{F}
]
性质
力矩具有以下几点性质：
- 力的作用点沿作用线移动，不改变力对点的力矩；
- 当力通过矩心时，力对矩心的力矩等于零；
- 互相平衡的力对同一点的力矩之和等于零。
简史
早在古希腊时期，人类就已经认识到力对物体的转动效应，古希腊数学家阿基米德对杠杆平衡的条件做了最早的严格的数学证明，意大利科学家莱奥纳多·达·芬奇给出了严格的“力矩”概念：杆上物体的平衡由它们的重量和距支点的距离决定，但是“力矩”一词仍没有被提出来。在西方最早期，意大利物理学家伽利略·伽利雷的《关于两个新科学的对话》一书中提到了关于长度与重量的名词，大概意思为“当支点一端物体的重量与其距离支点的长度的乘积增加时，若想保持静止，则另一端必须与其乘积的数值相等”，但是并未定义一个物理量来描述这一现象。直到1830年，卡特和拉德纳在其合著的《力学》书中讨论“物体绕轴运动的机械属性”问题时，引入并第一次定义“moment of force”这一名词描述的是力的转动能力，称为力绕轴的矩。后来，1835年巴塞洛缪·劳埃德在著作《机械论哲学基础》中给出力矩的确切定义：一个力与从支点到此力的垂直距离的乘积称为力矩。
古希腊数学家阿基米德
相关原理
杠杆原理
杠杆原理是物理学中的一个基本原理，它描述了通过杠杆的作用能够使力的作用效果发生变化的现象。杠杆的平衡条件：杠杆平衡时，动力×动力臂=阻力×阻力臂。如果用 (F_1) 表示动力, (F_2) 表示阻力, (L_1) 表示动力臂, (L_2) 表示阻力臂，上式可以写成:
[
F_1L_1 = F_2L_2
]
力偶
力偶的定义在力学中，把大小相等、方向相反、作用线互相平行但不共线的二力组成的力系，称为力偶，写成：
[
\vec{F}_1 + \vec{F}_2 = 0
]
力偶两力之间的垂直距离 (d) 称为力偶臂。
扭矩
使机械构件产生转动效应，并伴随扭转变形的力偶矩或力矩称为扭矩，符号为 (T)。如图，力偶矩是由作用在同一物体上的大小相等，方向相反的两个平行力形成的。力偶矩的大小用扭矩 (T) 来度量，它等于力 (F) 与力偶臂 (d) 的乘积，即：
[
T = Fd
]
其中，(d) 为力偶臂, (F) 为作用力。
转动惯量
转动惯量的定义为：
[
I = \sum m_i r_i^2
]
即刚体对转轴的转动惯量等于组成刚体各质元的质量与各自到转轴的距离平方的乘积之和。在刚体转动中，转动惯量起着平动中质量的作用，它是刚体在转动时惯性大小的量度。由定轴转动定律可知，当刚体所受的总外力矩 (\tau) 一定时，转动惯量 (I) 越大，角加速度 (\alpha) 就越小，刚体越能保持其原来的转动状态；反之, (I) 愈小, (\alpha) 就愈大，即刚体越容易改变其原来的转动状态。
定理定律
合力矩定理
若力 (\vec{F}) 为两共点力 (\vec{F}_1) 和 (\vec{F}_2) 的合力，如下图所示，则合力对于任一点 (O) 的矩等于各分力对同一点力矩的代数和，即：
[
\vec{M}O = \vec{M}{O1} + \vec{M}_{O2}
]
定轴转动的动能定理
功是能量变化的量度，在刚体转动过程中，力矩的功将引起转动动能的改变，刚体的角速度由 (t_1) 时刻的 (\omega_1) 变为 (t_2) 时刻的 (\omega_2) 则过程中总外力矩对刚体所做的功 (W) 为：
[
W = \frac{1}{2}I\omega_2^2 - \frac{1}{2}I\omega_1^2
]
上式表明，总外力矩对刚体所做的功等于刚体转动动能的增量。
质点角动量定理
已知，牛顿第二定律的数学表示式为：
[
\vec{F} = m\vec{a}
]
在惯性系中，选取某固定参考点 (O)，以 (\vec{r}) 代表质点的位置矢量，用 (\vec{r}) 叉乘（矢量积）上述等式的两边，则有：
[
\vec{r} \times \vec{F} = m\vec{r} \times \vec{a}
]
对固定的参考点, (\vec{r} \times \vec{v}) 即为质点的角动量，考虑到 (\vec{a} = \frac{d\vec{v}}{dt})，上式可表示成：
[
\frac{d\vec{L}}{dt} = \vec{r} \times \vec{F}
]
上式表明：在惯性系中，作用在质点上的合力对某参考点的力矩，等于质点对同一参考点角动量随时间的变化率，这个表述称为质点角动量定理。
定轴转动定律
从力矩的功和转动动能增量的关系出发，因：
[
W = \tau\theta
]
而：
[
W = \Delta K = \frac{1}{2}I\omega_2^2 - \frac{1}{2}I\omega_1^2
]
从这两式消去 (\theta) 即得：
[
\tau = I\alpha
]
上式表明，刚体在总外力矩 (\tau) 的作用下，所获得的角加速度 (\alpha) 与总外力矩的大小成正比，并与转动惯量 (I) 成反比，这个关系叫做刚体的定轴转动定律。
应用
常用工具
旋转门因为旋转门是绕轴转动的，所以只使用力是无法让门旋转的，而将力作用于门把手附近可以将门打开。因为旋转问题不仅仅与力有关还与力到物体中心垂直距离有关，即旋转问题要用力矩解决。扳手在日常生活中常常会通过螺丝等工具来固定一些物体，不过螺丝和螺钉等物体体积很小，即便是将力作用在其边界上也难以使其旋转来固定物体。因此，应用力矩原理，即使一个物体旋转与作用力和力到物体中心的垂直距离都有关系。当使物体旋转所需要的力矩确定时，可以通过增加距离来省下力。此外，生活中还有一些工具，如螺丝刀等在使用的时候应用的也是力矩原理。
工程学
舒适性是汽车性能的主要指标之一，车辆的摩擦异响问题对汽车舒适性有很大程度上的影响。车辆摩擦异响特性研究的关键在于如何获得各材料对在不同压力、不同温湿度和不同运动方式下的动静摩擦系数。车用材料动静摩擦系数通常要从试验中获取，但摩擦力无法直接通过传感器测量。针对车用材料摩擦异响测试困难问题，对摩擦异响特性测试方法进行研究，提出了基于力矩平衡的车用材料摩擦系数测试方法。根据摩擦系数测试原理开发测试设备及其控制系统软件，基于力矩平衡的方法对于车用材料摩擦系数的测试具有可执行性，且误差在可控范围内符合设计要求。
地质学
文化遗产的预防性保护是文物保护的重要工作，但是文物面临一个不可回避而又无法预测的重大威胁，即地震灾害，而且由地震灾害对文化遗产造成的破坏很多时候是无可挽回的。基于力矩平衡原理，对不规则文物的重心进行测量，进而通过初步计算来得到文物的临界地震加速度，再由文物的形体特征来计算出每类文物的抗倾倒极限地震加速度，在测量结果的可靠性前提下，为文物的地震设防等级和防震保护工作提供基础设计数据。
测绘学
在地图设计中，视觉平衡是按一定原则编排地图上的图形单元，使之达到合理生动的一种视觉效果。以往对视觉平衡的评估基本是地图设计者凭借长期的经验定性判断是否达到视觉平衡，因而会出现不同设计者结论不统一的现象。基于力矩平衡原理的视觉平衡模型，将定性的评估转化为定量的评估方法，借鉴经典物理学中力矩平衡模型，分析轴力矩模型在模拟视觉平衡时的可行性，并提出视觉重力矩的概念，兼顾视觉重量的影响规律，归纳出视觉重力矩的函数模型，对地图的图面设计具有一定的指导意义。