从二维随机变量到多维随机变量

从二维随机变量到多维随机变量

引用

CSDN

1.

https://m.blog.csdn.net/u013600306/article/details/145839399

随机变量是概率论中的重要概念，用于描述随机现象的数值特征。当我们需要同时考虑多个随机变量时，就需要引入多维随机变量的概念。本文将从二维随机变量出发，逐步介绍二维离散随机变量、二维连续型随机变量，最后推广到n维随机变量，帮助读者建立对多维随机变量的全面理解。

二维随机变量

设X和Y是定义在同一样本空间Ω上的两个随机变量，称由它们组成的向量(X, Y)为二维随机变量，亦称为二维随机向量，其中称X和Y是二维随机变量的分量。

采用多个随机变量去描述一个随机现象，所以定义中的随机变量X和Y是要求定义在同一个样本空间上。相对于二维随机变量(X, Y)，也称X和Y是一维随机变量。

若随机变量X和Y之间存在相互关系，则需要将(X, Y)作为一个整体（向量）来进行研究。通过将两个随机变量X和Y组合成一个二维随机变量(X, Y)，可以更全面地描述和分析随机现象。

二维离散随机变量

若二维随机变量(X, Y)的取值只有有限多对或可列无穷多对，则称(X, Y)为二维离散随机变量。

二维离散随机变量及其联合分布律

设二维离散随机变量(X, Y)所有可能取到的不同值为(xi, yj)，i, j = 1, 2, …，称

pij = p(xi, yj) = P(X = xi, Y = yj)

为(X, Y)的联合概率函数或联合分布律，简称为(X, Y)的概率函数或分布律。

• 二维离散随机变量：如果二维随机变量(X, Y)的取值只有有限多对或可列无穷多对，则称其为二维离散随机变量。
• 联合概率函数pij：表示随机变量X取值为xi且随机变量Y取值为yj的概率。
• 联合分布律：所有可能的(xi, yj)对应的概率pij构成了二维离散随机变量(X, Y)的联合分布律。

设随机变量X可以取值x1, x2, …, xm，而随机变量Y可以取值y1, y2, …, yn。那么，X和Y的联合分布律可以通过以下方式表示：

在这个表中：

• 每个元素pij表示X = xi且Y = yj同时发生的概率。
• 所有pij值加起来等于1，因为它们代表了所有可能事件的概率总和。

二维连续型随机变量及其联合概率密度函数

设(X, Y)是二维随机变量，F(x, y)是其联合分布函数。若存在非负二元函数p(x, y)，使得对于任意的实数x和y，有

F(x, y) = ∫-∞x ∫-∞y f(u, v) du dv，

则称(X, Y)为二维连续型随机变量，称p(x, y)为(X, Y)的联合概率密度函数，简称为概率密度。

• 联合分布函数F(x, y)描述了随机变量X和Y同时小于等于x和y的概率。
• 联合概率密度函数p(x, y)是一个非负二元函数，通过积分可以得到联合分布函数F(x, y)。
• 二维连续型随机变量：如果存在这样的联合概率密度函数p(x, y)，则称(X, Y)为二维连续型随机变量。

n维随机变量

设X1, X2, …, Xn是定义在同一样本空间Ω上的n个随机变量，称由它们组成的向量(X1, X2, …, Xn)为n维随机变量，亦称为n维随机向量，其中称Xi（1 ≤ i ≤ n）是n维随机向量的第i个分量。

• n维随机变量：由n个随机变量X1, X2, …, Xn组成的向量。
• n维随机向量：与n维随机变量同义，表示一个包含n个随机变量的向量。
• 分量：每个随机变量Xi（1 ≤ i ≤ n）是n维随机向量的一个组成部分。