高数：罗尔、拉格朗日、柯西中值定理（含matlab代码）
高数：罗尔、拉格朗日、柯西中值定理（含matlab代码）
以防你不会使用matlab！！先教一下！
- 打开新脚本：
- 在顶部菜单栏中，点击
Home
标签 - 然后在
File
区域中点击
New
，选择
Script
。这会打开一个新的脚本文件窗口，通常显示为一个称为
Untitled
的新窗口
- 输入代码：
就是输入我给出来的代码 - 保存脚本：
点击窗口左上角的保存图标，或选择
FileSave
为文件命名（例如
RolleTheorem.m不能有空格噢
），并选择保存位置 - 运行脚本：
在脚本窗口中，点击
Run
按钮，或直接按
F5
键。系统将执行脚本中的所有代码
运行后，MATLAB 将在命令窗口中显示执行结果，同时还会弹出一个新的图形窗口，展示绘制的函数图像
1. 罗尔定理（Rolle's Theorem）
定理内容：
如果函数 f(x) 在闭区间 [a,b] 上连续，在开区间 (a,b) 内可导，并且 f(a)=f(b)，则在 (a,b) 内至少存在一个点 c，使得 f′(c)=0
简单来说，罗尔定理的意思是，如果函数在两个端点处的值相等，并且满足连续性和可导性条件，那么在区间内必然存在至少一个点的导数为0，这意味着曲线在该点上有一个水平的切线
数学表达式：
- 条件： f(a)=f(b)，且 f(x) 在 [a,b] 上连续，(a,b) 上可导。
- 结论：存在 c∈(a,b)，使得 f′(c)=0
matlab示例：
选择 f(x)=(x−a)(x−b)，并且设 a=−2, b=2
% 定义区间和函数
a = -2;
b = 2;
f = @(x) (x - a) .* (x - b); % 定义函数 f(x)
% 定义导数
f_prime = @(x) 2*x; % 定义导数 f'(x)
% 创建x轴数据
x = linspace(a, b, 100); % 在区间 [a, b] 生成 100 个点
y = f(x); % 计算对应的 y 值
% 找出导数为0的点
c = 0; % 在这个例子中 f'(x) = 0 时，c = 0
% 绘制函数曲线
figure; % 创建一个新的图形窗口
plot(x, y, 'b-', 'LineWidth', 2); % 绘制函数 f(x)
hold on; % 保持当前图形
plot(c, f(c), 'ro', 'MarkerSize', 10, 'LineWidth', 3); % 在 c 处标记红点
title('Rolle''s Theorem: f(x) = (x + 2)(x - 2)'); % 设置标题
xlabel('x'); % 设置 x 轴标签
ylabel('f(x)'); % 设置 y 轴标签
grid on; % 显示网格
legend('f(x)', 'f''(c)=0'); % 添加图例
出现下面这个图像
解释一下：在这个例子中，f(a)=f(b)=0，因此满足罗尔定理的条件。我们可以看到在 x=0 处，导数为0，曲线在该点处具有水平的切线
2. 拉格朗日中值定理（Lagrange's Mean Value Theorem）
定理内容：
拉格朗日中值定理是罗尔定理的推广。它指出，如果函数 f(x) 在闭区间 [a,b] 上连续，在开区间 (a,b) 内可导，那么在 (a,b) 内至少存在一个点 c，使得
这意味着在区间 [a,b] 上，函数的瞬时变化率（即导数）在某个点等于平均变化率
数学表达式：
- 条件： f(x) 在 [a,b] 上连续，(a,b) 上可导。
- 结论：存在 c∈(a,b)，使得 f′(c)=f(b)−f(a)/b−a
matlab代码示例：用 f(x)=x² 来演示拉格朗日中值定理
% 定义区间和函数
a = 1;
b = 3;
f = @(x) x.^2;
% 定义导数
f_prime = @(x) 2*x;
% 平均变化率
avg_slope = (f(b) - f(a)) / (b - a);
% 创建x轴数据
x = linspace(a, b, 100);
y = f(x);
% 找出使f'(c)等于平均变化率的点c
c = avg_slope / 2;
% 绘制函数曲线
figure;
plot(x, y, 'b-', 'LineWidth', 2);
hold on;
plot([a b], [f(a) f(b)], 'r--', 'LineWidth', 2); % 连接 f(a) 和 f(b) 的直线
plot(c, f(c), 'ro', 'MarkerSize', 10, 'LineWidth', 3);
title('Lagrange Mean Value Theorem: f(x) = x^2');
xlabel('x');
ylabel('f(x)');
grid on;
legend('f(x)', 'Secant Line', 'f''(c)=Average Slope');
输出如下：
解释一下：在这个例子中，拉格朗日中值定理告诉我们函数的瞬时变化率在某个点 c 处等于区间 [a,b] 上的平均变化率。通过绘制割线（连接 f(a) 和 f(b) 的直线）和曲线，我们可以直观地看到这一点
3. 柯西中值定理（Cauchy’s Mean Value Theorem）
定理内容：
柯西中值定理是拉格朗日中值定理的进一步推广。它指出，如果函数 f(x) 和 g(x) 都在闭区间 [a,b] 上连续，并在开区间 (a,b) 内可导，而且 g′(x)≠0 对所有 x∈(a,b) 成立，那么在 (a,b) 内至少存在一个点 c，使得
柯西中值定理常用于分析两个函数之间的变化率关系
数学表达式：
- 条件： f(x) 和 g(x) 在 [a,b] 上连续，在 (a,b) 内可导，并且 g′(x)≠0。
- 结论：存在 c∈(a,b)，使得f′(c)/g′(c)=f(b)−f(a)/g(b)−g(a)
matlab代码示例：使用 f(x)=x² 和 g(x)=x+1 来演示
% 定义区间和函数
a = 1;
b = 4;
f = @(x) x.^2;
g = @(x) x + 1;
% 定义导数
f_prime = @(x) 2*x;
g_prime = @(x) 1;
% 计算柯西中值定理的平均变化率
avg_ratio = (f(b) - f(a)) / (g(b) - g(a));
% 找出使 f'(c)/g'(c) 等于平均变化率的点c
c = avg_ratio / 2;
% 创建x轴数据
x = linspace(a, b, 100);
y_f = f(x);
y_g = g(x);
% 绘制f(x)和g(x)的曲线
figure;
plot(x, y_f, 'b-', 'LineWidth', 2);
hold on;
plot(x, y_g, 'g-', 'LineWidth', 2);
plot(c, f(c), 'ro', 'MarkerSize', 10, 'LineWidth', 3);
title('Cauchy Mean Value Theorem: f(x) = x^2, g(x) = x+1');
xlabel('x');
ylabel('Functions');
grid on;
legend('f(x)', 'g(x)', 'f''(c)/g''(c)=Avg Ratio');
输出如下：
解释一下：在柯西中值定理中，两个函数 f(x) 和 g(x) 的导数比值在某个点 c 处等