导数（简明微积分）

导数（简明微积分）

本文来自wuli.wiki，是一篇关于导数的科普文章。文章从几何意义出发，详细解释了一元函数在某一点处的导数概念，包括其几何含义、物理含义以及单侧导数等，并通过多个具体例子说明了如何计算导函数。文章内容深入浅出，适合对微积分有一定基础但需要进一步理解导数概念的读者。

1. 一点处的导数

几何含义

一个一元函数 $y = f(x)$ 在直角坐标系中表示为一条曲线。在切线与割线中，我们已经初步了解了什么是切线与割线。

图 1：B 趋向 A，割线趋向切线

我们先写出割线的直线方程。由于割线就是一条经过 A，B 两点的直线，根据高中数学知识，很容易得到
\begin{equation} y-y_A=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}(x-x_A)=\frac{f(x_B)-f(x_A)}{x_B-x_A}(x-x_A)~. \end{equation}

观察割线的方程，除了斜率项 $k=\frac{f(x_B)-f(x_A)}{x_B-x_A}$，其余项均与 $x_B$ 无关。现在，如图 1所示，我们固定 A 点不动，让 B 点趋近于 A 点，即令 $x_B\rightarrow x_A$，这使割线趋向于切线，它的斜率即可用极限来定义
\begin{equation} k=\lim_{x_B\to x_A}\frac{f(x_B)-f(x_A)}{x_B-x_A}~. \end{equation}

我们把这个切线的斜率定义为 $x=x_A$ 处 $f(x)$ 的导数，一般记为 $f'(x_A)$ 或 $ \frac{\mathrm{d}{f}}{\mathrm{d}{x}} |_{x=x_A}$。因此，我们说函数一点处的导数值就等于这点处切线的斜率。

图 2：点 $A$ 的切线。$f'(x_A)=k=\tan \theta$

更一般的，有

定义 1　函数一点处的导数

$f(x)$ 在 $x=x_0$ 处的导数为
\begin{equation} f'(x_0)=\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}, \end{equation}
也可以写为
\begin{equation} f'(x_0)=\lim_{\Delta x \to 0}\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}. \end{equation}

“物理” 含义

仔细观察 $x=x_0$ 附近切线的形状与 $f(x)$ 的形状，你很容易看出这两者是几乎一样的。这启发我们在一个小区域内用切线来近似原函数。

图 3：将切点放大，会发现切线和曲线在切点附近 “重合”

此时，若想计算 $x$ 轻微增加后，函数值 $y$ 的增量，就没有必要复杂地计算 $$\Delta y = f(x_0+\Delta x) - f(x_0),$$ 而只需要计算
\begin{equation} \Delta y = f'(x_0) \Delta x, \end{equation}
这就引入了微分的概念。更重要的是，这启发了我们导数的另一层含义：导函数确定了 $x=x_0$ 处，$y$ 关于 $x$ 变化的 “敏感度”，即 $x$ 轻微变化时，$y$ 会做出多大的响应。例如，一个绝对值大的导数值意味着 $y$ 会因为 $x$ 的轻微变化而剧烈变化。

理解这一含义的最直白例子或许是速度，速度被定义为物体位置关于时间的导数 $v= \frac{\mathrm{d}{r}}{\mathrm{d}{t}} $。即使只靠直觉，我们也能理解“速度快” 就是指 “一瞬间他就从我眼前飞过去了”，这就是说当时间轻微增加时，物体的位置大幅变化。

单侧导数

类似于单侧极限，我们也可以引入单侧导数的概念。如果 B 点从右侧趋近 A 点，但始终不运动到 A 点的左侧，那么此时切线的斜率即为该点处函数的右导数值，可以记为 $f'_+(x_A)$。更一般地，用极限的语言可以写为：

定义 2　单侧导数

$f(x)$ 在 $x=x_0$ 处的右导数为：
\begin{equation} f'+(x_0) = \lim{x\to x_0^+} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}. \end{equation}
同理，可以定义左导数：
\begin{equation} f'-(x_0) = \lim{x\to x_0^-} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}. \end{equation}

类似于极限，我们也有

定理 1

函数在某点可导的充分必要条件是它左右导数都存在并相等。
$$f'(x_0)=A\Longleftrightarrow f'+(x_0)=f'-(x_0)=A~.$$
也就是说，若左（或右）导数不存在，或者左、右导数存在但不相等，那此处的导数就不存在。

例 1

如图，在棱角处，虽然函数连续，甚至左、右导数均存在，但他们的大小不相同，因此在棱角处该函数不可导。

图 4：棱角处不可导

一个更明确的例子是绝对值函数 $f(x) = |x|$, 它在零点的左导数为 $-1$，而右导数为 $1$。

2. 导函数

在上文中，我们定义了一点处函数的导数。原则上我们可以任意选取函数定义域中的一点，然后用根据上文 “导数的定义” 找到该点处的导数值。这也就是说，对于函数定义域中的任意一点，都有一个导数值与之对应，这符合函数的定义，也就是说我们可以在这二者间定义一个新函数，这就是 $f(x)$ 的 “导函数”；在不引起混淆的情况下往往简称为 “导数”。

字面上看，导函数的定义与一点处函数的导数完全类似。

定义 3　导函数
\begin{equation} f'(x)=\lim_{\Delta x \to 0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}~. \end{equation}

通常将导函数记为以下的一种
\begin{equation} f'(x),\quad [f(x)]',\quad \frac{\mathrm{d}{y}}{\mathrm{d}{x}} ,\quad \frac{\mathrm{d}{f}}{\mathrm{d}{x}} ,\quad \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}{x}} f(x)~. \end{equation}
在物理中，还可以在物理量上方加一点表示对时间求导（注意仅限于对时间求导），例如 $\dot f(t) = \mathrm{d}{f(t)}/\mathrm{d}{t} $。

例 2　直线方程的导函数

计算 $f(x)=2x+3$ 的导函数。

根据定义，
$$
\begin{aligned}
f'(x)&=\lim_{\Delta x \to 0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}\
&=\lim_{\Delta x \to 0}\frac{[2(x+\Delta x)+3]-(2x+3)}{\Delta x}\
&=\lim_{\Delta x \to 0}\frac{2\Delta x}{\Delta x}\
&=2~.
\end{aligned}
$$
事实上，所有直线方程的导函数都是常函数，且数值上等于自己的斜率。当然，实际上很少直接使用定义计算导数，有一些技巧可以简化求导过程（见本节其他文章）。

例 3　常函数的导函数

计算 $f(x)=C$ 的导函数, 其中 $C$ 是常数。

仍然根据定义，
$$
\begin{aligned}
f'(x)&=\lim_{\Delta x \to 0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}\
&=\lim_{\Delta x \to 0}\frac{C-C}{\Delta x}\
&=\lim_{\Delta x \to 0}\frac{0}{\Delta x}\
&=0~,
\end{aligned}
$$
因此常函数的导数为零。这可以理解为例 2当 $x$ 的系数为零时的特例。

例 4　二次函数的导函数

计算 $f(x)= a x^2 + b x + c$ 的导函数。

仍然根据定义，
$$
\begin{aligned}
f'(x)&=\lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x} \
&=\lim_{\Delta x \to 0} \frac{a(x + \Delta x)^2 + b (x + \Delta x) + c - a x^2 - b x - c}{\Delta x} \
&=\lim_{\Delta x \to 0} \frac{2 a x (\Delta x) + a (\Delta x)^2 + b \Delta x}{\Delta x} \
&=\lim_{\Delta x \to 0} 2 a x + a (\Delta x) + b \
&= 2 a x + b ~,
\end{aligned}
$$
因此二次函数的导数为一次函数。当 $a = 0$，二次函数退化为直线方程。

参考文献

1. 同济大学数学系.高等数学(上下册) 高等教育出版社 (2014) 第七版
2. J. Hass, C. Heil, M. Weir．Thomas' Cauculus14ed