三角形内外心几何模型的性质及其应用

三角形内外心几何模型的性质及其应用

三角形内外心几何模型是平面几何中的一个重要模型，它涉及到三角形的外心、内心以及它们之间的位置关系。本文将介绍这个模型的一个重要性质：已知△ABC的外心为O，内心为I，且OI//BC，则cosB+cosC=1，并给出这个性质的三种证明方法。此外，我们还将通过四个具体的例题来说明这个性质的应用。

性质及证明

性质：已知△ABC的外心为O，内心为I，且OI//BC，则cosB+cosC=1.

下面给出这个性质的三种证明.

证法1：如图1所示，连接OB，OC，IB，IC，过点O，I作BC得垂线，垂足分别为M，D.设△ABC的内切圆半径为r.

由BD

应用举例

例1 （2015年第6届陈省身杯全国数学奥林匹克第5题）如图4，已知锐角ABC的外接圆为⊙O，其垂心、内心分别为H、I，AH的中点为M，且满足AO//MI.设AH的延长线与⊙O交于点D，直线AO、OD与BC分别交于点P、Q.证明：（1）△OPQ为等腰三角形；（2）若IQ⊥BC，则cosB+cosC=1.

证明：（1）延长AP交⊙O于点E，连接DE.由于O、H分别为△ABC的外心、垂心，则易知AD⊥BC，AD⊥DE.

所以DE//BC，于是有∠OED=∠OPQ，∠ODE=∠OQP，又OD=OE，可知∠OED=∠ODE，因此∠OPQ=∠OQP，所以OP=OQ，△OPQ等腰三角形.

（2）延长BO交⊙O于点F，连结CH、FA、FC、CD、QH，则可知FA⊥AB，FC⊥BC，CH⊥AB，于是FA//CH，AH//FC，所以四边形AHCF为平行四边形，从而有∠FAD=∠CHD，AH=FC.

例2 （2021年哈佛-麻省数学竞赛春季赛团体赛第9题）

如图5，在非等腰锐角△ABC中，O，I分别是外心和内心，⊙I与BC，CA，AB分别切于点D，E，F.过D作EF的垂线，分别与EF和⊙I交于点P，Q.过A作BC的垂线，与直线OI交于点T.已知OI//BC，求证：PQ=PT.

证明：先证明Q在AT上，即AQ⊥BC，这只需

例3 在△ABC中，AB≠AC，BE⊥AC于E，CF⊥BC于F，H、I分别是△ABC的垂心、内心，ID⊥BC于D，BF+CE=BC，证明：ID=HD.

证明：如图6，设△ABC的外心为O，BC的中点为M，AI交△ABC的外接圆于N，AH的中点为G.首先，BF+CE=BC，得cosB+cosC=1，所以OI//BC.

由AH⊥BC，ON⊥BC，ID⊥BC，得AH//ON，AH//ID，所以∠ONI=∠IAH.

记△ABC外接圆半径为R，由垂心

结合GH=GI知四边形GIDH为菱形，故ID=HD.

注：上述证明过程，亦可得到OI//BC∠AIH=90°.

例4 在△ABC中，AB≠AC，O、I分别为其外心、内心，ID⊥BC于D，直线OD上的E满足AE⊥BC，CI的中点为M，若OI⊥ID，证明：M、I、O、E四点共圆.

证明：如图7，设BC的中点为R，AI交△ABC的外接圆Ω于P，延长PO交Ω于点Q，设△ABC的垂心为H，AH的中点为G，H关于BC的对称点为E′，熟知E′在Ω上.

由条件知OI//BC，同例3的证明可知∠AIH=∠NOI=90°，GH=GI.

由垂心性质知AH=2OR，所以AG=GH=OR=ID，所以四边形AORG、GIDH为平行四边形.由O，H分别为△ABC的外心和垂心，知AH，AO为等角线，结合I为内心，知∠HAI=∠OAI.所以∠HGI=2∠HAI=∠HAO，所以GI//AO，故G，I，R三点共线，故∠E′DC=∠HDC=∠IRD=∠IOD，因此O，D，E′三点共线.

所以四边形AE′PQ为等腰梯形，OI为PQ的垂直平分线，故E′，I，Q三点共线，因此∠IE′P=∠IAQ=90°，故点E′在以IP为直径的圆Γ上，熟知M，I，O都在此圆上，命题得证.

cos2θ=1－e.

综上，原命题成立.

研究平面几何，需要积累一些常见模型，研究几何结构就是尽量多的发掘一些几何图形的特性，并把类似的图形放在一起研究.研究几何结构不是说掌握了一个通法，而是为了“见多识广”，看到一道题能够很快破解它的奥妙和关键所在.