微积分入门（真的很入门）
微积分入门（真的很入门）
微积分是现代数学的重要分支，广泛应用于物理学、工程学、经济学等多个领域。本文将从最基础的概念开始，用通俗易懂的语言，带你走进微积分的世界。
前置知识
极限
我们要求
$$
\lim_{x \to 1}\frac{x^2-1}{x-1}
$$
右边我们都知道是什么意思，那左边是什么呢？
意思就是，当$x$无限接近1时，右边的那一坨东西是什么。
$x$无限接近1是什么意思？管他呢，我们先直接代入$x = 1$求一下呗，然后求出来一个非常谔谔的$\frac{0}{0}$。
然而当我们画出这个函数的图像后：
这不就是一个$x+1$吗？太 easy 了，通过瞪眼法直觉可知，答案是2。
有个东东叫做：验算。
当你重新回去审视题面，你发现了被你直接遗忘掉的$\lim_{x \to 1}$。
也就是，漏掉了一句，当$x$无限接近1的时候，意味着$x$可以不是1，也可以是$1+10^{-114514}$等。
- 当$x$取2时，原函数的值为3。
- 当$x$取1.5时，原函数的值为2.5。
- 当$x$取$1+10^{-114514}$时，原函数的值为$2+10^{-114514}$。
- 当$x$取$1-10^{-114514}$时，原函数的值为$2-10^{-114514}$。
其中，第三条和第四条的$x$都非常接近1，而这四条的值都越来越接近2。
综上，答案是2。
相信通过这个例子都已经可以理解极限到底是个啥东东了，放一波百度百科对于极限的描述：
某一个函数中的某一个变量，此变量在变大（或者变小）的永远变化的过程中，逐渐向某一个确定的数值A不断地逼近而“永远不能够重合到A”（“永远不能够等于A，但是取等于A‘已经足够取得高精度计算结果）的过程中，此变量的变化，被人为规定为“永远靠近而不停止”、其有一个“不断地极为靠近A点的趋势”。极限是一种“变化状态”的描述。此变量永远趋近的值A叫做“极限值”（当然也可以用其他符号表示）。
update：一点小小的补充
有一写特别的函数，其在某一点处的值存在然而极限不存在。极限的严格定义是，左极限和右极限相等才算有。而左极限就是从左边无限逼近，右极限就是从右边无限逼近。
比如这个经典的分段函数：
注意上面是当$x \ge 0$时取的$x+1$，而下面是$x<0$，所以当$x=0$时有定义，是1。而$x=0$时的左极限是$-1$，你从左边无限逼近就是$-1$，右极限是1，左右极限并不相等，所以极限不存在，但是值存在（为1）。
导数
其实就是斜率。但是，测量斜率要有一条直线，也就是两个点。
比如，我们要测量下图中直线$g_1$和$g_2$的斜率：
根据斜率公式，$\frac{\Delta y}{\Delta x}$也就是$\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$，可以求出直线$g_1$的斜率为$\frac{4-1}{2-1} = 3$，$g_2$的斜率是$\frac{9-1}{3-1} = 4$。
那么，如果我们只有一个在一个函数图像上的点，我们应该如何求出斜率呢？
有人说，你这样不行啊！一个点怎么可能可以求斜率呢？
update：对，你说的没错，一个点不能求斜率，这里的斜率实际上指的是过这个点的函数图像的切线的斜率。
但是，我们可以取一个在这个函数的图像上，和这个点非常相近的点，比如要求斜率的点是在$f(x)=x^2$上的$x=1$点，那么我们可以取一个$x=1.01$点，这样求出来的斜率是：
$$
\begin{aligned}
\frac{f(1.01)-f(1)}{1.01-1} &= \frac{1.01^2-1^2}{0.01} \
&= \frac{0.0201}{0.01} \
&= 2.01
\end{aligned}
$$
那么如果我们取的第二个点就是原来的点呢？
$$
\frac{f(1)-f(1)}{1-1} = \frac{0}{0}
$$
分母变成0了！
当然，我们可以再写一个函数，设$g(x)$为“与1相邻的那个点”选择$x$时算出来的斜率。
我们可以直接通过斜率公式求得：
$$
g(x) = \frac{x^2-1}{x-1}
$$
看上去没什么用，但是如果你学了多项式除法，或者学了一点点小学奥数，那么就会知道$x^2-1 = (x-1)(x+1)$，原式就相当于$x+1$。
然后我们就发现，当$x=1$时可以求$g(x)$了！求出来就是$1+1=2$。所以在$f(x)=x^2$函数上的$x=1$点的斜率就是2。
然后，我们就可以扩大一下$g(x)$，使其变成$g(x,y)$，意思是“与$y$相邻的那个点”选择$x$时算出来的斜率。
$$
g(x,y)=\frac{x^2-y^2}{x-y}
$$
（上面的$g$函数只是$y=1$时的特化）
一样的道理，$x^2-y^2=(x-y)(x+y)$，那么$g(x,y)$就相当于$x+y$，然后我们一样就发现$g(y,y)$也能求出来了，就相当于$y+y=2y$。
既然$g(y,y)$也可以求出来了，那肯定就是最精确的。那我们干嘛还去求其他的呢？所以我们再用一个函数$f'(x)$来代表在$f(x)$上$x$点的斜率，同时可以轻松得到，$f'(x)=g(x,x)=2x$。
我们就称$f'(x)$为$f(x)$的导函数，其意义就是$f(x)$的图像上$x$点的斜率。
最后放一波百度百科对于导数的描述：
导数（Derivative），也叫导函数值。又名微商，是微积分中的重要基础概念。当函数$y=f(x)$的自变量$x$在一点$x_0$上产生一个增量$\Delta x$时，函数输出值的增量$\Delta y$与自变量增量$\Delta x$的比值在$\Delta x$趋于0时的极限$a$如果存在，$a$即为在$x_0$处的导数，记作$f'(x_0)$或$\frac{df(x_0)}{dx}$。
当然，除了上面两种，极限还有第三种表达方式：$\frac{d}{dx}f(x_0)$。
需要注意的是，$\frac{d}{dx}$并不能约分变成$\frac{1}{x}$，$d$是一个非常特殊的量，叫做无穷小，如果不理解可以在前面加上$\lim_{d \to 0}$，当然我们现在并不需要理解它的意思。
嗯，其实导数还有另外一种定义：
$$
f'(x)=\lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x + \Delta x)-f(x)}{\Delta x}
$$
我们来解析一下：
$f'(x)$代表导数。
$\lim_{\Delta x \to 0}$代表$\Delta x$，也就是$x$的增量尽量小。
$\frac{f(x + \Delta x)-f(x)}{\Delta x}$下面的$\Delta x$可以变成$(x + \Delta x) - x$可能会更好理解，你会发现其实还是在求斜率。
其实意思就是：选一个与$x$尽量靠近（靠近到不能在靠近）的数字，对其求值作为另一个点，对于原来的$x$点和选取的与$x$尽量靠近做的直线的点求斜率。
原函数
反导数，一个函数$f$的原函数通常记作$F$，满足$F'(x)=f(x)$。
积分
这是一个标准的正弦函数：
它很简单（并不），这时，几何老师来了：
『求阴影部分面积。』（蓝色是正的，红色是负的。）
其实可以这样求，把阴影部分看做是若干个长方形的面积之和。
比如：
这样显然不太精确，可以这样：
还可以这样：
甚至这样：
显然，最后一张图已经基本上是正确答案了，肉眼看不出区别。
戳这里，滑动$k$来查看各种精确度的结果。
如果我们用数学方法求呢？
那就是：
$$
\lim_{\mathrm dx \to 0} \sum_{i={0 \over \mathrm dx}}^{({3\pi \over 2}) \over \mathrm dx} \sin(\mathrm dxi)\mathrm dx
$$
但是，这种 $ \lim\limits_{\mathrm dx \to 0} \sum \limits_{i={a \over \mathrm dx}}^{b \over \mathrm dx} f(\mathrm dxi)\mathrm dx $ 形式的式子在微积分里面太常见了，所以简记做 $ \int _a^b f(x)\mathrm dx $。
换句话说，我们要求$\int_0^{3\pi \over 2}\sin(x)\mathrm dx$。
特别厉害的注意力
我们要求 $ \int _a^b f’(x)\mathrm dx $。
而$f'(x)$就是$\lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x + \Delta x)-f(x)}{\Delta x}$。
然而这里$\Delta x$和$\mathrm dx$都是趋近于0的，可以合并在一起。
那么原式就是：
$$
\int _a^b \frac{f(x + \mathrm dx)-f(x)}{\mathrm dx}\mathrm dx
$$
也就是：
$$
\int _a^b f(x+\mathrm dx)-f(x)
$$
我们发现这是一个差分的前缀和，所答案就是：
$$
f(b)-f(a)
$$
综上：
$$
\int_a^b f'(x)\mathrm dx = f(b)-f(a)
$$
也就是：
$$
\int_a^b f(x)\mathrm dx = F(b)-F(a)
$$
恭喜你，你发现了微积分基本定理，也就是牛顿 - 莱布尼茨公式！
这样，我们就能解这道题了。
$\sin x$ 的原函数是$-\cos x$，所以答案就是$(-\cos \frac{3\pi}{2}) - (-\cos 0) = 0 - (-1) = 1$。
这就是求定积分的简单方法：微积分基本定理，但是前提是这个函数你能求出它的原函数。
其实计算机对于一般的函数求积分还是分成极小的小块。
比如：
from math import *
def f(x):
return sin(x)
def myint(f, a, b, dx): #对于 f 函数求 a 到 b 的定积分，长方形的宽为 dx
sum = 0
for i in range(int(a / dx),int(b / dx)):
sum += dx * f(i * dx)
return sum
print(myint(f, 0, 3*pi/2, 1/1))
print(myint(f, 0, 3*pi/2, 1/10))
print(myint(f, 0, 3*pi/2, 1/100))
print(myint(f, 0, 3*pi/2, 1/1000))
print(myint(f, 0, 3*pi/2, 1/1000000)) #过了许久
看到没，其实还是挺精确的，并且许多微分方程（通俗来就就是求原函数，或者多阶原函数）都是无解的，只能通过计算机模拟。