圆锥曲线和圆锥

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@小白创作中心

圆锥曲线和圆锥

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来源

https://wuli.wiki/online/ConSec.html

圆锥曲线是数学中一类重要的曲线，包括椭圆、双曲线和抛物线。它们不仅在几何学中占有重要地位，还在物理学、工程学等领域有着广泛的应用。本文将从圆锥曲线的几何定义出发，通过数学推导证明圆锥被平面截出的曲线都是圆锥曲线，并详细讨论它们的方程及其几何性质。

预备知识

椭圆，抛物线，双曲线，右手定则，平面旋转矩阵

圆锥曲线的几何定义

圆锥曲线之所以叫做圆锥曲线，是因为它们可以由平面截取圆锥面得到（图 1）。然而由于这涉及较为繁琐的计算，所以初学圆锥曲线时我们往往先介绍更简单的定义，例如 “圆锥曲线的极坐标方程” 中的定义，或者直接在 $x$-$y$ 直角坐标系中使用二次方程定义（见预备知识）。以下我们来证明双圆锥被平面截出的任意曲线都是圆锥曲线。

图 1：圆锥的有限截面是一个椭圆（来自 Wikipedia）

双圆锥面的方程

双圆锥面如图 2所示。在直角坐标系 $x$-$y$-$z$ 中，为了方便我们使用顶角（两条母线的最大夹角）为 $\pi/2$ 的圆锥

图 2：式 1表示的双圆锥面（修改自 Wikipedia）

其方程为
\begin{equation} z_1^2 = x_1^2 + y_1^2~. \end{equation}

对其他顶角的圆锥，我们只需要把 $z$ 轴缩放一下即可。

平面截圆锥面的数学推导

我们可以再列出一个一般的平面方程与式 1联立得到方程组，但这样解出来的曲线将与 $x$-$y$ 平面未必平行。所以更方便的办法是先把圆锥旋转一下，再用某个和 $x$-$y$ 平面平行的平面 $z = z_0$ 去截出曲线。这样就方便化为圆锥曲线的标准方程。关于 $y$ 轴的旋转变换为1

\begin{equation} \begin{pmatrix}x_1\z_1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\cos\theta & -\sin\theta\ \sin\theta & \cos\theta\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\z\end{pmatrix} ~, \end{equation}

\begin{equation} y_1 = y~. \end{equation}

代入式 1得

\begin{equation} (\sin\theta\cdot x + \cos\theta\cdot z)^2 = (\cos\theta\cdot x - \sin\theta\cdot z)^2 + y^2~. \end{equation}

这相当于把圆锥关于 $y$ 轴用右手定则旋转了 $\theta$。当 $\theta \ne \pi/4$ 时，化成椭圆或双曲线的标准方程（式 1式 4）

\begin{equation} \frac{(x - \tan2\theta \cdot z)^2}{(z/\cos2\theta)^2} + \frac{y^2}{z^2/\cos2\theta} = 1~. \end{equation}

长半轴、短半轴和离心率分别为

\begin{equation} a = \frac{z}{\cos2\theta}~~, \qquad b = \frac{z}{\sqrt{ \left\lvert \cos2\theta \right\rvert }}~~, \qquad e = \sqrt{2}\sin\theta~. \end{equation}

当 $\theta < \pi/4$ 时，式中 $\cos2\theta > 0$，就得到了椭圆（$e < 1$），反之则得到双曲线。