拉普拉斯变换中s代表微分算子的原因

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拉普拉斯变换中s代表微分算子的原因

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CSDN

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在学习通信工程时，我们经常会遇到拉普拉斯变换中s代表微分算子的问题。为什么1/s代表积分电路，s代表微分电路？这个问题涉及到傅里叶变换、时域和频域的关系，以及拉普拉斯变换的数学基础。本文将从多个角度深入探讨这个问题，帮助读者更好地理解拉普拉斯变换的本质。

拉普拉斯变换与傅里叶变换的关系

拉普拉斯变换和傅里叶变换有很多类似的地方，但又不完全相同。拉普拉斯变换的式子如下：

其中最上方便是拉普拉斯变换的式子，其中第5行和第18行即分别对应了你想问的内容。拉普拉斯变换最常用可能便是在解微分方程上，可以将积分与微分的通解部分变化为一个更容易解决的关于s的方程，在得到解之后再查表转回可以大大简化求解复杂微分方程的过程。

而拉普拉斯变换的式子也使得关于s的函数可以满足很多有用的性质，比如在估计一系列对于信号的处理后的新信号的Amplitude与Phase，可以使用s=jw来求解。著名的Bode图也是用此画出。

时域与频域的关系

如果想要更好的理解时域与频域，用傅立叶级数来了解不失为一种好办法。时域信号可以分解为很多个不同频率幅度正弦信号的叠加，右侧的蓝柱即对应了该信号在频域下不同频率（横坐标）时的幅度（柱子高低）。此时我们将其视为一个关于w的函数。

拉普拉斯变换中的s

在拉普拉斯变换中，s是一个复频域变量，表示为复数s=σ+jω，其中σ是实部，表示衰减因子；ω是虚部，表示角频率。在拉普拉斯变换中，s可以看做微分算子，这是因为时域的微分刚好对应到复频域（拉普拉斯变换域）的乘以s。可以理解成是将原来的信号分解成了一堆形如exp(st)这样的振荡衰减信号，再对每个分量求微分，那结果是每个分量都会乘上相应的s，所以在拉普拉斯变换域直接乘以s就好。

微分算子s的推导

微分算子s的推导需要用到分步积分法。具体推导过程如下：

从最后一个公式可以看出，对输入的原频域函数再乘以s就是对原时域函数的微分再拉普拉斯变换，所以s也叫微分算子。

积分算子1/s的推导

积分算子1/s的推导需要用到二重积分换序。具体推导过程如下：

所以对原时域函数f(τ)的拉普拉斯变换再乘以1/s就是对该时域函数求积分后的拉普拉斯变换，故Simulink里1/s也叫积分器。

拉普拉斯变换的几个定理

拉普拉斯变换是一种线性积分变换，是解线性常微分方程，研究线性系统的一个重要工具。拉普拉斯变换的几个定理包括：

复频域分析：是指线性动态系统的一种分析方法，这种方法不是在时间域里直接进行分析和求解，而是变换到复频域的范围内求解。
欧拉定理：e是自然对数的底，i是虚数单位。它将三角函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位。
关于e的积分公式：积分公式∫e^x dx = e^x + C是微积分中的基本公式之一，适用于以e为底的指数函数。该公式揭示了e^x的原函数仍为自身，仅需加上积分常数C。