余弦四次函数不定积分∫cos^4(2x+1)dx的计算步骤

余弦四次函数不定积分∫cos^4(2x+1)dx的计算步骤

引用

网易

1.

https://m.163.com/dy/article/J86IS6JU0536BX08.html

不定积分∫cos^4(2x+1)dx的计算

本内容用凑分法、分部积分法以及三角公式变形等有关知识，介绍不定积分∫cos^4(2x+1)dx的计算步骤。

详细步骤：

I=∫cos^4(2x+1)dx

对微元进行凑分

=(1/2)∫cos^4(2x+1)d(2x+1)

=(1/2)∫cos^3(2x+1)cos(2x+1)d(2x+1)

对三角函数进行凑分

=(1/2)∫cos^3(2x+1)dsin(2x+1)

以下进行分部积分法

=(1/2)cos^3(2x+1)sin(2x+1)-(1/2)∫sin(2x+1)dcos^3(2x+1)；

=(1/2)cos^3(2x+1)sin(2x+1)+3∫sin^2(2x+1)cos^2(2x+1)dx；

使用sin^2x+cos^2x=1公式进行变形，

=(1/2)cos^3(2x+1)sin(2x+1)+3∫[1-cos^2(2x+1)]cos^2(2x+1)dx

=(1/2)cos^3(2x+1)sin(2x+1)+3∫cos^2(2x+1)dx-3I,则：

4I=(1/2)cos^3(2x+1)sin(2x+1)+3∫cos^2(2x+1)dx;

I=(1/8)cos^3(2x+1)sin(2x+1)+(3/4)∫cos^2(2x+1)dx;

使用倍角公式cos2x=2cos^2x-1得，

I=(1/8)cos^3(2x+1)sin(2x+1)+(3/8)∫[cos2(2x+1)+1]dx;

=(1/8)cos^3(2x+1)sin(2x+1)+(3/8)∫cos2(2x+1)dx+(3/8)∫dx;

=(1/8)cos^3(2x+1)sin(2x+1)+(3/32)∫cos2(2x+1)d[2(2x+1)]+(3x/8);

所以：

I=(1/8)cos^3(2x+1)sin(2x+1)+(3/32) sin2(2x+1)+(3x/8)+C1.