多普勒效应及多普勒频移的简单推导

多普勒效应及多普勒频移的简单推导

引用

CSDN

1.

https://m.blog.csdn.net/m0_47867419/article/details/123117892

多普勒效应是物理学中的一个基础概念，在雷达、声学等领域有重要应用。本文将从多普勒频移的定义开始，通过一个简单的模型推导出多普勒频移的表达式，帮助读者理解这一物理现象。

多普勒频移的定义如下：

f_d ≡ f_R − f_T (1)

其中，f_d表示多普勒频移，f_R表示目标回波的频率（Hz），f_T表示发射信号的频率（Hz）。

多普勒频移的表达式为：

f_d = 2v/λ (2)

其中，λ为信号波长（m），v为雷达与目标间的相对径向速度（m/s）。这是一个近似的表达式，适用于目标相对于雷达的径向速度远小于电磁波传播速度的情况。实际情况往往如此，因此通常用(2)式来计算目标的径向速度。

多普勒效应是由奥地利数学家多普勒首先发现和提出的，它反映了信号频率与运动速度之间的关系。值得注意的是这里的速度指相对的径向速度，即运动速度沿二者直线方向的分量。

下面对多普勒频移的表达式(2)作一个简单的推导。

雷达发射一段正弦波，起始点为A，终止点为B，在空间延伸的长度为D，频率为f₀。目标以径向速度v_r向着雷达飞行（远离雷达飞行时速度为负数，原理相同），如下图所示：

由于目标向雷达运动，B点接触目标后，到A点接触目标，所需的时间Δt为：

Δt = D/(c + v_r) (3)

当A点接触目标时，B点相对于目标的距离就是反射后正弦波的长度D'，其计算式为：

D' = (c − v_r) ⋅ Δt = (c − v_r)/(c + v_r)D (4)

其中c − v_r表示B点反射后电磁波相对目标的速度。

反射后的正弦波长度小于反射前的长度，但波的个数是不变的，设反射后的频率为f₀'，则有：

f₀'/f₀ = D/D' = (c + v_r)/(c − v_r) = 1 + 2v_r/(c − v_r) ≈ 1 + 2v_r/c (5)

上式成立的条件是电磁波传播速度远大于目标运动速度，实际情况中通常如此，则多普勒频移f_d为：

f_d = f₀' − f₀ = f₀ ⋅ 2v_r/c = 2v_r/λ (6)