反常积分(Anomalous Integrals)
反常积分(Anomalous Integrals)
反常积分是数学分析中的一个重要概念，它研究的是在无穷区间或被积函数有无穷间断点的情况下，积分的收敛性和发散性。本文将详细介绍反常积分的定义、类型及其判别方法，帮助读者深入理解这一重要数学概念。
20.反常积分
20.1 收敛和发散
反常积分主要出现在以下三种情况：
- 积分区间为无穷区间
- 被积函数在积分区间内有无穷间断点（瑕点）
- 同时满足上述两种情况
反常积分的收敛性和发散性主要取决于被积函数在无穷区间或瑕点附近的走势。例如，函数 ( \frac{1}{x} ) 在 ( x \to 0 ) 时的积分是发散的，而 ( \frac{1}{\sqrt{x}} ) 在 ( x \to 0 ) 时的积分是收敛的。
20.1.1 反常积分的例子
上述反常积分发散，因为 ( \frac{1}{x} ) 的图像并没有那么接近于y轴，所以它对应的积分是发散的。
上述反常积分收敛，因为 ( \frac{1}{\sqrt{x}} ) 的图像足够接近于y轴，以至于它对应的积分是收敛的。
一个反常积分在有界区间的收敛或发散是由它的被积函数在非常接近破裂点时的走势决定的。此种情况中积分上限的值不影响判断反常积分发散或收敛。
20.1.2 其他破裂点（瑕点）
函数在积分上限是无界的，或者在区间 ([a, b]) 内有破裂点（瑕点）c。
[
\int_a^b f(x)dx
]
可以分成两部分：
当下面两部分同时收敛时，积分 (\int_a^b f(x)dx) 才收敛。如果任何一个发散，则积分 (\int_a^b f(x)dx) 发散。
20.2 瑕积分
20.2.1 瑕积分类型一
积分上下限有一个无穷时的情况。
只要不选择新瑕点，那么a值对广义积分（反常积分）的收敛还是发散就没有任何影响。仅仅需要考虑的是当x非常大时，函数的走势怎样。
例1：积分上下限同时是无穷时的情况。
拆分成两部分，让每一部分只有一个瑕点。
例1：
例2：
例3：
20.2.2 瑕积分类型二
例1：
例2：
20.3 比较判别法（理论）
比较判别法是用一个函数的反常积分的结果去判别另一个函数的反常积分。
20.3.1 关于发散性
如果在区间 ((a, b)) 内，函数 (f(x) \geq g(x)) 且积分 (\int_b^a g(x)dx) 是发散的，那么积分 (\int_b^a f(x)dx) 也是发散的。
如果 (f(x) \leq g(x))，积分 (\int_b^a g(x)dx) 是发散的，那么积分 (\int_b^a f(x)dx) 可能发散、可能收敛。
20.3.2 关于收敛性
如果在区间 ((a, b)) 内有 (0 \leq f(x) \leq g(x))，且积分 (\int_b^a g(x)dx) 是收敛的，那么积分 (\int_b^a f(x)dx) 也一定是收敛的。
想要求的面积（(\int_b^a f(x)dx)）是正的并小于一个有限的面积（(\int_b^a g(x)dx)），所以 (\int_b^a f(x)dx) 是有限的。
如果 (f(x) \geq g(x))，积分 (\int_b^a g(x)dx) 是收敛的，那么积分 (\int_b^a f(x)dx) 可能发散、可能收敛。
20.4 极限比较判别法（理论）
假设有两个函数在破裂点 (x = a) 是非常接近的（无其他破裂点）那么积分 (\int_b^a f(x)dx) 和 (\int_b^a g(x)dx) 同时收敛或同时发散。
极限比较判别法的重点是：能找到一个和被积函数在瑕点附近敛散性一致的函数。
20.4.1 函数互为渐近线
因为比值接近于1，所以 (f(x)) 非常接近于 (g(x))。
这并不意味着 (f(x)) 和 (g(x)) 的差是非常小的。
例如：
(f(x)) 为万亿，而 (g(x)) 为万亿+一百万。
(\frac{f(x)}{g(x)}) 非常小，但 (g(x) - f(x)) 却为一百万。
并不说明当 (x) 接近于 (a) 时，(f(x)) 大约等于 (g(x))。
它说明当 (x) 接近于 (a) 时，(f(x)) 和 (g(x)) 的比值接近于1。
也就是说，当 (x \rightarrow a)，函数 (f(x)) 和 (g(x)) 是渐进等价的。
例子：
渐进等价是极限的另一种书写形式。
两个渐进等价的函数可以进行相除或相乘、幂运算，但不能进行加或减。
例子：
判别法的应用
20.5 p判别法（理论）
使用比较判别法和极限比较判别法时，需要选择一个能与函数 (f) 相比较的函数 (g)，这个函数 (g) 最常用的是 (\frac{1}{x^p})。
20.6 绝对收敛判别法
比较判别法的一个假设是函数 (f) 和 (g) 都是非负的。
如果函数是负的或在积分区间不停地正负振荡，应使用绝对收敛判别法。
只有当积分的绝对值情况是收敛的，才能使用绝对收敛判别法。
例1：
例2：
本文原文来自CSDN博客