高中数学奇偶函数怎么判断

高中数学奇偶函数怎么判断

奇偶函数是高中数学中的一个重要概念，它们在函数性质的研究中占据着核心地位。本文将从定义、图像特征以及运算规则三个方面，系统地介绍奇偶函数的判断方法和相关性质。

奇偶函数的定义

奇函数的定义

对于一个定义域关于原点对称的函数f（x），如果在其定义域内任意一个x，都有f（-x）= - f（x），或者等价地，f（-x）＋ f（x）=0，那么函数f（x）就叫做奇函数。

偶函数的定义

对于一个定义域关于原点对称的函数f（x），如果在其定义域内任意一个x，都有f(x)=f(-x)，或者等价地，f（-x） - f（x）=0，那么函数f（x）就叫做偶函数。

根据图像判断奇偶函数

• 若f(x)的图象关于原点对称，则f(x)是奇函数。
• 若f(x)的图象关于y轴对称，则f(x)是偶函数。
• 即奇又偶的函数只有常数函数且为0的函数。
• 非奇非偶的函数即不关于原点对称又不关于y轴对称的函数。

奇偶函数的运算法则

1. 两个偶函数相加所得的和为偶函数。
2. 两个奇函数相加所得的和为奇函数。
3. 一个偶函数与一个奇函数相加所得的和为非奇函数与非偶函数。
4. 两个偶函数相乘所得的积为偶函数。
5. 两个奇函数相乘所得的积为偶函数。
6. 一个偶函数与一个奇函数相乘所得的积为奇函数。
7. 奇函数一定满足f(0)=0（因为F（0）这个表达式表示0在定义域范围内，F(0)就必须为0）所以不一定奇函数有f(0)，但有F（0）时F（0）必须等于0，不一定有f(0)=0，推出奇函数，此时函数不一定为奇函数，例f(x)=x^2.
8. 定义在R上的奇函数f（x）必满足f（0）=0；因为定义域在R上，所以在x=0点存在f(0)，要想关于原点对称，在原点又只能取一个y值，只能是f(0)=0。这是一条可以直接用的结论：当x可以取0，f（x）又是奇函数时，f（0）=0）。