集合的交集、并集和补集

集合的交集、并集和补集

集合的交集、并集和补集是集合论中基础且重要的概念。本文将详细介绍这些概念及其性质，并通过例题帮助读者更好地理解。

交集

设 $A,B$ 是两个集合，由所有属于集合 $A$ 且属于集合 $B$ 的元素所组成的集合，叫做集合 $A$ 与集合 $B$ 的交集 (intersection)，记作 $A \cap B$：

$$
A \cap B = {x \mid x \in A \text{ 且 } x \in B}
$$

如下图阴影部分所示：

• 若两个集合 $A$ 和 $B$ 的交集为空，则说他们没有公共元素，写作: $A \cap B = \varnothing$。例如集合 ${1,2}$ 和 ${3,4}$ 不相交，写作 ${1,2} \cap {3,4} = \varnothing$。
• 任何集合与空集的交集都是空集，即 $A \cap \varnothing = \varnothing$。
• 更一般的，交集运算可以对多个集合同时进行。例如，集合 $A、B、C、D$ 的交集为 $A \cap B \cap C \cap D = A \cap [B \cap (C \cap D)]$。交集运算满足结合律，即 $A \cap (B \cap C) = (A \cap B) \cap C$。

在不混淆歧义的情况下，$A \cap B$ 也常写成 $AB$。

交集的性质：

$$
\begin{array}{rl}
& A \cap B \subseteq A \
& A \cap B \subseteq B \
& A \cap A = A \
& A \cap \varnothing = \varnothing \
& A \cap B = B \cap A
\end{array}
$$

并集

给定两个集合 $A，B$，把他们所有的元素合并在一起组成的集合，叫做集合 $A$ 与集合 $B$ 的并集，记作 $A \cup B$，读作 $A$ 并 $B$：

$$
A \cup B = {x \mid x \in A \text{ 或 } x \in B}
$$

如下图所示：

• 任何集合与空集的并集都是其本身，即 $A \cup \varnothing = A$。
• 在不混淆的语义的情况下，有时候也写成 $A + B$。

并集的性质：

$$
\begin{array}{rl}
& A \cup B \supseteq A \
& A \cup B \supseteq B \
& A \cup A = A \
& A \cup \varnothing = A \
& A \cup B = B \cup A
\end{array}
$$

若 $A \cap B = A$，则 $A \in B$，反之也成立；
若 $A \cup B = B$，则 $A \in B$，反之也成立；
若 $x \in (A \cap B)$ 则 $x \in A$ 且 $x \in B$；
若 $x \in (A \cup B)$，则 $x \in A$，或 $x \in B$。

补集

补集一般指绝对补集，即一般地，设 $S$ 是一个集合，$A$ 是 $S$ 的一个子集，由 $S$ 中所有不属于 $A$ 的元素组成的集合，叫做子集 $A$ 在 $S$ 中的绝对补集。在集合论和数学的其他分支中，存在补集的两种定义：相对补集和绝对补集。

相对补集

若 $A$ 和 $B$ 是集合，则 $A$ 在 $B$ 中的相对补集是这样一个集合：其元素属于 $B$ 但不属于 $A$：

$$
B - A = {x \mid x \in B \text{ 且 } x \notin A}
$$

如下图所示：

在不引起歧义的情况下，$A,B$ 的补集也可以写成 $A - B$。

绝对补集

若给定全集 $U$，有 $A \subseteq U$，则 $A$ 在 $U$ 中的相对补集称为 $A$ 的绝对补集（或简称补集），写作 $C_U A$。补集符号 $C_U A$ 有三层含义：

1. $A$ 是 $U$ 的一个子集，即 $A \subseteq U$；
2. $C_U A$ 表示一个集合，且 $C_U A \subseteq U$；
3. $C_U A$ 是由 $U$ 中所有不属于 $A$ 的元素组成的集合，$C_U A$ 与 $A$ 没有公共元素，$U$ 中的元素分布在这两个集合中。

$$
\begin{array}{rl}
& A \cap C_U A = \varnothing \
& A \cup C_U A = U
\end{array}
$$

集合的逆

如果 $A \cup B = S$ 且 $A \cap B = \varphi$，则 $\overline{A} = S - A$。

集合的性质

• 交换律：$A \cup B = B \cup A, A \cap B = B \cap A$
• 结合律：$A \cup (B \cup C) = (A \cup B) \cup C$
• $A \cap (B \cap C) = (A \cap B) \cap C$
• 分配率：$A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (A \cup C)$
• $A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C)$
• 德摩根律：$\overline{A \cup B} = \overline{A} \cap \overline{B}$
• $\overline{A \cap B} = \overline{A} \cup \overline{B}$

例题

例1 设全集 $U = {-3,-2,-1,0,1,2,3}$，集合 $A = {-1,0,1,2}, B = {-3,0,2,3}$，则 $A \cap (C_V B) =$

A. ${-3,3}$
B. ${0,2}$
C. ${-1,1}$
D. ${-3,-2,-1,1,3}$

答案 C

解析 由题意结合补集的定义可知 $C_V B = {-2,-1,1}$，则 $A \cap (C_V B) = {-1,1}$。故选 C。

例2 设集合 $A = {x \mid x^2 - 4 \le 0}, B = {x \mid 2x + a \le 0}$，且 $A \cap B = {x \mid -2 \le x \le 1}$，则 $a =$

A. $-4$
B. $-2$
C. 2
D. 4

答案 B

解析 求解二次不等式 $x^2 - 4 \le 0$ 可得 $A = {x \mid -2 \le x \le 2}$，

求解一次不等式 $2x + a \le 0$ 可得

$B = {x \mid x \le -\frac{a}{2}}$。

由于 $A \cap B = {x \mid -2 \le x \le 1}$，故 $-\frac{a}{2} = 1$，

解得 $a = -2$。故选 B。