多元函数可导、可微、连续、一阶偏导数连续间关系详解

多元函数可导、可微、连续、一阶偏导数连续间关系详解

引用

CSDN

1.

https://blog.csdn.net/qq_36942291/article/details/93379545

在多元函数中，可导、可微、连续以及一阶偏导数连续之间的关系错综复杂。本文将以二元函数为例，详细解释这些概念之间的区别和联系，帮助读者建立清晰的理解框架。

1. 可导与连续的关系

对于二元函数而言，可导指的是两个偏导数存在。偏导数是将某一自变量看作常数时的导数。偏导数的存在只能保证函数在与坐标轴平行的方向上极限值等于函数值，但连续性要求函数以任何方向趋近于某一定点时都满足这一条件。因此，可导不一定连续，反之亦然。

2. 可微与连续、可导的关系

可微是这些性质中最强的。若二元函数在某一点可微，意味着过该点任意垂直于XY平面的切平面与该二元曲面的交线函数在该点连续且存在导函数。因此，可微必连续，也必可导。但反之不成立，因为连续与偏导数存在只是可微的部分条件。

上图中，f(x,y)在x=0及y=0的切平面交线都是坐标轴，这两条直线在（0，0）点满足连续可导。（图1）
但是f(x,y)与y=x的切平面交线是一个像y=|x|的函数图像，连续但是在（0，0）点不可导。（图2）因此在（0，0）点不可微。

3. 一阶偏导数连续与可微的关系

一阶偏导数连续是可微的充分条件。虽然可微不一定要求偏导数连续，但当偏导数连续时，可以保证函数在该点可微。至于为什么可微不一定需要偏导数连续，可以参考一元函数中存在含有第二类间断点（震荡间断点）的导函数的情况。例如函数f(x,y)=x^2sin(1/x)+y^2sin(1/y)就是一个例子，这种函数在某些点可微但偏导数不连续。