欧拉公式的奥秘：从基础概念到傅里叶变换
欧拉公式的奥秘：从基础概念到傅里叶变换
欧拉公式被誉为“数学中的天桥”，它巧妙地将自然常数e、圆周率π、虚数单位i以及三角函数sin和cos联系在一起。本文将从泰勒展开、自然常数e、复数等基础概念出发，逐步推导出欧拉公式，并解释其与傅里叶变换的关系。
1. 引子
在学习傅里叶变换时，你可能会好奇：幂指数函数是如何映射成三角函数的？答案就隐藏在神奇的欧拉公式中。这个公式涉及自然常数e、圆周率π、虚数i、三角函数sin和cos等多个核心数学概念，虽然推导过程并不复杂，但需要扎实的基础知识。
2. 泰勒展开
泰勒展开是用多项式逼近原函数的一种方法。例如，对于sin(x)这样的函数，直接计算sin(4)可能比较困难，但如果将其表示为形如f(x) = a0 + a1x + a2x^2 + a3x^3…的多项式，计算就会变得简单得多。泰勒展开的具体实现是通过原函数的导数，将函数展开成多项式形式，公式如下：
其中Rn(x)是余项。
3. 自然常数e
自然常数e（欧拉数）是一个约等于2.718的无理数，其定义是：
e的含义可以通过复利来理解。假设你有1块钱，年利息是100%，如果一年付一次利息，一年后可拿到2块钱；如果半年付一次利息，一年后可拿到2.25块钱；如果一个月付一次息，一年后可拿到约2.61块钱；如果每天付一次息，一年后可拿到约2.715块钱。当付息次数趋于无穷大时，最终金额趋近于e，即约2.718。
4. 自然指数e^x的泰勒级数展开
将e^x在x=0处展开，由于e^0=1且e^x的导数还是e^x，展开后得到：
上图是e^x，以及展开式前5项和前10项拟合的图像。
5. 复数
复数是形如a+bi的数，其中a和b是实数，i^2=-1。在复变函数中，变量z可以写成z=r(cosθ+isinθ)的形式，其中r是z的模（即r = |z|），θ是z的辐角。将乘一次i看成相对0点逆时针转90度，乘两次转180度，转三次是-i，转四次又回到单位1。因此可以把其虚部看成定义如何旋转。
6. 把虚数i代入e^x的展开式
虚数i是-1的平方根，因此有i^1=i, i^2=-1，i^3=-i，i^4=1。将i代入e^x的展开式中，可以看到其结果分为实部和虚部两部分。
7. 把sin(x)做泰勒级数展开
在x=0处展开sin(x)，由于sin(0)=0，cos(0)=1，sin'(x)=cos(x)，cos'(x)=-sin(x)，可以得到sin(x)的泰勒级数展开式。
8. 把cos(x)做泰勒级数展开
在x=0处展开cos(x)，可以得到cos(x)的泰勒级数展开式。
9. 欧拉公式
通过以上步骤，可以看到e^ix的实部和虚部正好对应sin(x)和cos(x)的展开，从而得到欧拉公式：
欧拉公式将指数函数的定义域扩大到了复数域，建立了三角函数和指数函数的关系，被誉为“数学中的天桥”。下图中，将上式右侧表示为二维坐标中的点，xy轴分别表示其实部虚部，θ为转角(即上式中的x)，转动半径为单位1（模不变）。它的几何意义就是随着虚部x的增加不断转圈。
可以把 e^(ix) 看作通过单位圆的圆周运动来描述单位圆上的点，e^(ix)表示在单位圆上转动了x弧度(即某个角度时)得到的向量，以此类推，e^(πi)在单位圆上转了半圈。显然得到的是实轴上的-1，然后与1合并可抵消得到0 ，由此得到：
10. 扩展成时间的函数
上图中又加入了t，把e^(ix)想成e^(iwt)，t是时间，w是系数。把平面上的转圈扩展成了空间中的转圈，纵轴表示时间t，两个横轴分别为实部(cos(t))和虚部(sin(t))，蓝线经过的点是e^ix，即，把时域上的e^ix分别投射到了实轴cos(t)和虚轴sin(t)，它们都是时间t的函数。图中可看到正余和余弦的投射（红／绿），如果用python做3D图，拖动旋转角度效果更直观。这就傅立叶变换原理：将时域值拆分映射到频域，通过三角函数的叠加表示。