复合函数求导定义证明_【“数”你好看】求导
复合函数求导定义证明_【“数”你好看】求导
微积分的核心是极限（Limit），求导（Derivative）是微积分的重要内容，本质就是求极限。导数公式有很多，靠死记还是比较麻烦的，但这又是微积分的基础，不然接下去导数的应用（求切线、求法线、增减性、求极值、求凹凸性等）都没法学，更不用说导数的逆运算——求积分了。所以本文想系统的梳理一下求导法则及常见函数求导公式，争取利用最少的知识把下面公式都推导出来。
图：常见函数求导公式
一、导数的定义
AB弦的斜率是
，当B点不断向A点靠近时，AB弦的斜率就变成了
在点A处的切线斜率(
可以类比平均速度和瞬时速度)，可以得到求导公式：
(Differentiation from first principle)
也可以用如下公式求
在
处的切线斜率：
那么根据上述定义，我们计算几个常见的求导公式。
（1）
（2）
因为
所以
（3）
注：
，
（4）
注：
（5）
又因为
所以
的导数等于其本身乘以在
处的导数，那么什么时候
的导数等于其本身呢？即
,
这里，令
,
所以
，
那么
注：根据
结合后面复合函数求导法则可以推导出
。
如果
不能理解，可以考虑推导
，然后再利用反函数求导得到
。
二、导数的四则运算及复合函数求导(The chain rule)
设
是关于x的两个可导函数，则
Scalar muptiplication rule:
Addition rule:
The product rule:
The quotient rule:
对于
与
直接根据定义就可以证明了，比较容易，下面证明求导的乘法与除法公式。
（1）The product rule
（2）The quotient rule
根据导数的乘法与除法法则，我们就可以计算
比如下面计算一下
其他三个也可以类似的推导得到，所以只需要记住
就够了。
接下去讲一个非常重要的复合函数求导——链式法则(The chain rule)：
若
在
处可导，且
在
处可导，则复合函数
的求导结果为：
.
用莱布尼兹表示，若
都是可导函数，则
学了链式法则，那么我们就可以推导
则根据
和链式法则有
三、隐函数求导
把能够写成
的函数称为显函数，但是有些情况下如
我们不能把x,y分离开，只知道x,y存在一定的关系
,把这样的称为隐函数。隐函数求导就是对
两边同时对x进行求导，且在求导过程中把y看成是一个关于x的函数，求导完成后只需要把
分离开来就得到了y关于x的导数。
接下去我们根据隐函数求导来推导一下求导公式表中的剩下公式。
（1）
，则
,两边对x进行求导可得：
,那么
。
又因为
,
所以
那么我们也可以知道
类似的我们也可以算得剩下三个反三角函数的导数
（2）
,则
,两边对x求导可得
,
又因为
所以
也可以类似得到，其中要用到两个三角恒等式
总结，我们通过导数的定义，推导了导数四则运算法则、链式法则，以及借助隐函数求导，把常见函数求导公式都推导了一遍。所以我们只需要记忆一些最基本的定义、最常见的函数求导就够了，其它复杂的忘记了现推一下也很快知道了。
这是我认为的推导常见函数求导公式比较顺的一个思路，可能还有更好的，欢迎交流讨论~
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