无线通信基础第五章信道容量
无线通信基础第五章信道容量
本文是一篇关于无线通信信道容量的深度技术文章，详细介绍了AWGN信道容量、线性时不变高斯信道、频率选择性信道以及衰落信道的信道容量等内容。文章内容专业性强，涉及大量数学公式和理论推导，适合对无线通信领域有深入研究需求的读者。
AWGN信道容量
定义：存在一个最大的速率，称为信道的容量。如果一个信道尝试用超过信道容量的信息传输速率，那么出错概率就一定大于零。
重复编码（Repetition Coding）
对于一个BPSK符号，出错概率为。
将BPSK符号重复编码N次，对应的两个码字分别为和
如果发送的的是符号，则接受端的信号为：
对应的出错概率为
虽然信息随着N的增大变得越来越可靠，但是信息传输速率是1/N, 随着N的增大趋于零。
采用MPAM可以增大信息传输速率，此时的出错概率为
信息的传输速率为log(M/N)。随着N的增大，M不能大于，所以信息的传输速率不会大于，当N趋于无穷时，信息的传输速率依旧趋于零。
包络球
N维空间的总的大球（接受信号空间）的体积比上每一个小球（发送符号）的体积
由此可以得到信号的理论醉倒传输速率：
AWGN信道解码
采用ML解码AWGN信道，当N很大时，复杂度非常大。Turbo 和Low Density Parity Check 码作为一种迭代译码，性能和ML接近。
AWGN信道资源分配
连续时间AWGN信道
AWGN信道带宽为W, 功率限制为，噪声谱密度为，采样率为1/W, 对于复高斯信道
噪声功率和每一个实信号的功率分别是，则信道容量为：
对于连续系统每一秒有W个符号，则信道容量为
定义为信噪比自由度,则AWGN信道容量表示为：
也表示为最大可达频谱效率（spectal efficiency）。
功率和带宽的影响
带宽一定时，考虑功率的影响。将频谱效率看成关于SNR的函数
在低信噪比和高信噪比区域
当信噪比比较低的时候，功率每增加3dB(翻倍)时，信道容量翻倍。当信噪比比较高的时候，功率每增加3db（翻倍），每一个维度只能增加一个bit。
功率一定时，考虑带宽的影响。当带宽趋于无穷时
当功率一定时，信道容量随着带宽递增有上界
定义每个比特的功率，则有最小的每个比特的信噪比为
这个最小信噪比与总功率无关。
线性时不变高斯信道
单输入多输出信道（SIMO）
考虑有L根接收天线的SIMO信道
采用MRC检测
接受的信噪比，P是每一个符号的平均功率，则信道容量（最大可达频谱效率）表示为
多输入单输出信道（MISO）
考虑有L根发射天线的MISO信道（每根天线发送相同的符号）
通过预编码设置使得每一个发送符号在接收端正交（波束成型 transmit beamforming）
由此得到
由此得到信道容量
频率选择性信道（时延多径信道）
考虑一个时不变的最大时延为L个采样时间的频率选择性信道
每个符号的平均功率限制是P。通过OFDM，频率选择性信道可以视为个独立的子信道，其中为子载波的个数，于是有
和发送信号矢量和噪声适量
接受信号矢量
频率选择性信道的信道容量可以视为多个子信道的信道容量的和。发射信号的总功率限制为
假设在第n个子载波上的功率分配是，则总的信道容量为
其中满足功率限制
注水法（Waterfilling）
为了得到频率选择性信道的信道容量的最大值，我们采用拉格朗日乘子法如下
第一步，定义，则有功率分配为
第二步，由于总功率限制
由于在第一步中不知道的值，于是我们要通过迭代的方式，先假设所有信道可以使用，进行第二步得到的值，再进行第一步，将为负的信道设置为0后，重新进行第二步，计算出新的和功率分配，在进行第一步直到所有的子信道功率分配不存在负值，迭代结束。
因为是由通过补零后进行傅里叶变换得到的，于是有
若实际的频谱宽度为W，则第n个频点对应的实际的频率为，于是有频谱响应
则在第n个子载波的功率分配也可以表示为
将每个子载波的作为纵坐标，则有如下所示，蓝色部分的总和代表总的功率，每一个索引n上的蓝色部分代表对应子载波的功率分配。
运用N维空间包络球的概念，所有子信道的球的体积为（两个独立子信道的体积是两个体积相乘，因为不在相同的维度）
噪声的体积为，于是能放下的所有的球的个数最大为
最大可以达到的通信速率为
衰落信道（Fading Channel）的信道容量
考虑一个平坦衰弱信道（flat fading channel）
其中是一个衰弱过程，
. 信号带宽为W, 每个符号的功率限制为P。
假设信道响应归一化
平均的接受信噪比为SNR =
.
慢变衰弱信道（slow fading channel）
对于所有的m有，这也称为准静态信道。 在信道响应为h下有最大的可靠通信速率为。若以R来作为信息的传输速率，则一定有可能出错，则此时的出错概率为
对于瑞利衰落信道（），上述的出错概率为
在高信噪比下有
在无编码系统下，瑞利信道出错概率以1/SNR衰减。由此可见，编码不能显著提高出错概率。这是因为编码可以有效对抗高斯白噪声，但是信道衰落对于编码符号的影响无法被解决。
接受分集
如果假设有L根接受天线，由前面SIMO信道有出错概率为
可以变形为
在独立瑞利衰落的情况下，是2L 个独立的高斯变量的和，服从自由度为2L的分布，其概率密度分布函数为
当很小时有
于是对于高信噪比下有
其中出错概率以L的负指数衰减，分集度为L。
发送分集
发送端具有信道信息
考虑有L根发射天线的MISO系统，信道矢量为，假设发送端具有信道信息，可以对信号进行预编码（beamforming）,则对应前面的MISO信道容量
若以R的速率进行传输，则出错概率为
这与SIMO性能相同
发送端不具有信道信息
Alamouti Scheme
对于2发1收的的信道
在第一个时间段，在第二个时间段。
写成矩阵形式有
或
（接收端具有信道信息则可以进行解码）两个时间段的符号分配一样的功率则有
同上有出错概率为
由此可见对于发射端具有信道信息的情况下具有3db的功率增益。
在接收端不具备信道信息的情况下，所有天线均匀分配功率是最优的。（可证明）
重复编码
L根天线，L个时间段发送相同的符号，此时的出错概率为
（L个独立子信道并联）/（L个时间段 ）可以得到信道容量。如果要和Alamouti具有一样的性能，需要Alamouti所需的信噪比比上重复编码所需的信噪比为
类比接受分集里面的结果可以得到上面的结果。但R很小时有
此时没有SNR的损失。因此在高SNR的情况下，重复编码是次优的。
快变衰落信道（fast fading channel）
假设在L个码长时间内信道是不变的，这此时的出错概率为
当L趋于无穷大有(大数定理)
由此可以得到对于快变衰落信道的一个有意义的信道容量
性能对比
通过Jensen不等式有，对于一个严格凹函数有。
在低信噪比区域
在高信噪比区域
存在瑞利信道导致的信道容量衰减。
发射端具有信道信息
慢变已讨论
对于快变信道采用注水法
假设有L个时刻，每个时刻信道响应为（每个时刻不同），视为L个子信道并联有信道容量为
满足功率限制
和注水法类似，可以视为总功率为LP的L个并联子信道功率分配。
在低信噪比下注水法比AWGN信道好，但是到了高信噪比的情况下，注水法和CSIR的性能是一致的。
注水法和重复编码的功率分配如下所示