计算机图形学基础：变换矩阵完全指南
计算机图形学基础：变换矩阵完全指南
变换矩阵在计算机图形学中扮演着至关重要的角色。无论是物体的缩放、旋转还是位移，都可以通过变换矩阵来实现。本文将系统地介绍2D和3D线性变换以及仿射变换的基本原理和具体实现方法。
变换矩阵总结
- 1. 2D线性变换
我们将如下图所示的简单矩阵乘法定义为对向量( x , y ) T (x,y)^T(x,y)T的线性变换。
1.1 缩放(scaling)
缩放变换是一种沿着坐标轴作用的变换，定义如下:
即除了( 0 , 0 ) T (0,0)^T(0,0)T保持不变之外，所有的点变为( s x x , s y y ) T (s_xx,s_yy)^T(sx x,sy y)T。
举两个简单例子:
1.2 剪切(shearing)
shear变换直观理解就是把物体一边固定，然后拉另外一边，定义如下:
分别对应了向"拉伸"x轴，和"拉伸"y轴
直观理解见如下两图:
1.3 旋转(rotation)
旋转可以说是又一个十分重要的变换矩阵了，如下图，我们希望用一个变换矩阵表示将向量a \bold{a}a旋转到向量b \bold{b}b的位置，
记为
我们可做如下推导得到该矩阵，记向量长度为r rr，则不难得到
进一步我们可以将旋转之后的向量b \bold{b}b的坐标x,y用如下表示
显然，将上一步x a x_axa 和y a y_aya 的坐标表示代入得到
此时不难得出该结果即为r o t a t e ( ϕ ) ∗ ( x a , y a ) T rotate(\phi) * (x_a,y_a)^Trotate(ϕ)∗(xa ,ya )T的结果了，证明结束。（注意该式是逆时针(countercklockwise)旋转，且原点为旋转中心！）
举例逆时针旋转45°效果如下:
2. 3D线性变换
其实知道2维推3维还是非常直观的，只有推3维旋转的时候有一点要注意一下。
2.1 3维缩放(scaling)，剪切(shearing),旋转(rotation)
缩放不用多说:
剪切也十分类似:
3维旋转有3个矩阵，分别对应绕x轴，y轴，z轴旋转，同时有很关键的一点要注意！我们所采用的是右手系，因此旋转是有定向(orientation)正如在二维，是x轴向y轴旋转，对应到3维便是绕z轴旋转(x轴转向y轴)，不难推出绕x轴旋转(y转向z)，绕y轴旋转(z转向x), 如果想不明白，右手螺旋定则试一试就知道了！ x->y->z->x…
因此理解了上面这个来看绕x和z旋转的变换矩阵
(绕z轴，故z不变，且x转向y)
(绕x轴，故x不变，且y转向z)
绕y轴会有一点不同，但只要记住需要z转向x，很快便能反应过来
其实到这里可以下一个结论，可以看到任意旋转都是正交矩阵!，因此他们的逆便是他们的转置，而一个旋转矩阵的逆所对应的几何解释便是，我反着转这么多，比如我逆时针转30°，转置便是顺时针30°
注：以上所有的旋转都是针对原点来说，那么如何对围绕任何一个轴(3维)旋转呢
2.2 3维绕任意轴旋转
我们只有绕x，y, z旋转的方法，怎么随便给一个轴让你绕着他旋转呢！很直观的，我们把该轴给先旋转到任意的x，y，z轴上，然后就可以应用基本的旋转矩阵，最后再逆旋转回来即可，表示如下：
R 1 R x R 1 T ∗ ( x , y , z ) T R1RxR1^T * (x,y,z)^TR1RxR1T∗(x,y,z)T这里的Rx是知道的，问题只剩怎么求R1了，设我们想围绕旋转的轴为u uu，R1便是将u旋转到x的矩阵。
具体来说这里我们需要以u为一轴，构造一个3维正交坐标系，然后将u-x对齐，那么其它两轴就肯定和y和z对齐了！
构造如下，任取一t方向不与u重合
w = t x u
v = u x w
此时u, w, v便是我们构造出的新坐标系(这里运用了一些叉乘的小知识，读者不理解可取自行去了解一下叉乘几何含义再来看此式)。
好了，现在得到了u,w,v 对应 x,y,z如何将我们的新坐标系与原始坐标系重合呢，哈哈，这其实再简单不过了，我们取R1 = (u,w,v), 该旋转矩阵的含义便是将x , y , z x,y,zx,y,z旋转到u，w，v的旋转矩阵(不信可以直接R1 * x，R1y，R1z试试便一目了然)，还记得什么？我们上一节曾总结到，旋转矩阵是正交矩阵，旋转矩阵的转置便是它的逆，也是几何意义上的反作用，因此！R T R^TRT便是将u,w,v旋转到x,y,z的矩阵了。现在我们知道了R1知道了RX，那么围绕位移轴的旋转也就得到了！
中间那个矩阵换成r o t a t e − x ( ϕ ) rotate-x(\phi)rotate−x(ϕ)就好啦，书上的图懒得改了！
Tips:如果读者对线性代数不熟悉，或是没有很直观的几何理解的话，强烈推荐3blue1brown的线代本质.真的是带你走进全新版本，哈哈哈。
3. 仿射变换
其实读到这大部分矩阵变换都已经说完了，只剩最后一个位移，同时也会引入齐次坐标为了更好将位移与rotation，scaling结合再一起，这样能够有旋转scale，又有translation的变换，称之为仿射变换。
3.1 位移(translation)
其实位移是在简单不过的了
我们之前所提到的线性变换如下：
你可以试试如果2维变换只用2维矩阵，3维变换只用3维矩阵，你是不可能将二者合在一起用一个矩阵表示的，所以很自然的，我们引入一维新的坐标，称之为齐次坐标，(x,y)->(x,y,1)
现在我们就可以用一个矩阵即表示线性变换(先做)，又表示位移了(后做)！三维其实同理，可以自己写出来看看。
注：最后一维为1，表示点(point), 为0表示方向(direction).方向的位移没有意义，方向始终不会变。
当然，不是只能是1和0，在投影变换中，齐次坐标会有更多的作用。
参考文献
[1] Fundamentals of Computer Graphics 4th