高等数学：慕课版（下册）——收敛级数的基本性质
高等数学：慕课版（下册）——收敛级数的基本性质
收敛级数是高等数学中的一个重要概念，它涉及到无穷级数的求和问题。本文将详细介绍收敛级数的基本性质及其相关定理的证明，帮助读者更好地理解和掌握这一知识点。
收敛级数的基本性质
由于级数的敛散性取决于级数相应的部分和数列{sn}的极限是否存在，因此利用极限的有关性质，可得到收敛级数的一些基本性质。
1. 收敛级数的性质
性质7.1 若级数
收敛于和s，则级数
也收敛，其和为ks（k为常数）。即级数的每一项同乘一个常数后，它的收敛性不变。
证明 设级数
与级数
的部分和分别为sn与σn，则
σn=ku1＋ku2＋…＋kun=ksn，
故
所以，级数
收敛，其和为ks。
推论 如果级数
发散，当k≠0时，级数
也发散。
性质7.2 如果级数
,
也收敛，且其和分别收敛于和s, σ，则级数为s±σ，即两个收敛级数可以逐项相加或相减，其收敛性不变。
证明 设级数
,
, 的部分和分别为sn,σn,δn，则
故
所以，级数
收敛，其和为s±σ。
例7.5 判别级数
是否收敛，若收敛，求其和。
解 由几何级数得
所以级数
收敛，其和为
推论 如果级数
收敛，
发散，则级数 发散。
此推论利用反证法即可证得。
【即时提问7.1】 两个发散的级数逐项相加所得的级数一定发散吗？
性质7.3 在级数中去掉、加上或改变有限项，不会改变级数的收敛性。
证明 我们只需要证明“在级数的前面部分去掉或加上有限项，不会改变级数的收敛性”。因为其他情形（即在级数中任意去掉、加上或改变有限项的情形）都可以看成在级数的前面部分先去掉有限项，然后再加上有限项的结果。
设将级数
u1＋u2＋…＋uk＋uk＋1＋…＋uk＋n＋…
的前k项去掉，则得级数
uk＋1＋uk＋2…＋uk＋n＋…，
于是新得的级数的部分和为
σn=uk＋1＋uk＋2…＋uk＋n=sk＋n－sk，
其中sk＋n是原来级数前k＋n项的和。因为sk是常数，所以当n→∞时，σn与sk＋n或者同时具有极限，或者同时没有极限。
类似地，可以证明在级数的前面加上有限项，不会改变级数的收敛性。
性质7.4 如果级数
收敛，则在不改变其各项次序的情况下，对该级数的项任意添加括号后所形成的级数仍收敛，且其和不变。
证明 设级数
的前n项部分和为sn，和为s，在不改变其各项次序的情况下，任意添加括号后所得级数为
记级数式（7.5）的前k项部分和为σk，则
因此级数式（7.5）的部分和数列{σn}为级数
的部分和数列{sn}的一个子数列
，从而有
所以级数式（7.5）收敛于s。
推论 如果加括号后所形成的级数发散，则原级数也发散。
注 收敛级数去掉括号后可能发散，发散的级数加括号后可能收敛。例如级数（1－1）＋（1－1）＋（1－1）＋…＋（1－1）＋…
是收敛的，但去掉括号后得到的级数1－1＋1－1＋1－1＋…＋1－1＋…是发散的。
由于无穷级数涉及到无穷多项求和的问题，因此，根据以上性质只有收敛的无穷级数求和时可以添加括号，提取公因子以及把级数从等号的一端移到另一端，对于发散级数是不能够进行的。
2. 级数收敛的必要条件
定理7.1 如果级数
收敛，则它的一般项un趋于零，即
.
证明 设级数的部分和为sn，其和为s，有un=sn－sn－1，则
注定理7.1中
是级数
收敛的必要条件，但非充分条件。如果级数
收敛，则
；若
，级数
可能发散，如调和级数 是发散的，然而
；
但若
，则级数 一定发散。因此，判别级数敛散性时，首先考察级数
是否满足，如果这个条件不满足，则级数发散；如果这个条件满足，再用其他方法判定其敛散性。
例7.6 判别级数
的敛散性。
解 由于
，因此级数
发散。
例7.7 患有某种疾病的病人经常要服用一种特定药物。该药物在体内的清除速率正比于体内的药量。一天（24h）大约有10%的药物被清除。假设每天给某病人0.05mg的维持剂量，试估算病人如此长期服用该药物，体内的药物总量是多少？
解 给病人0.05mg的初始剂量。一天后，0.05mg药物的10%被清除，体内将残留（0.90） （0.05）mg的药量；在第二天末，体内将残留（0.90）（0.90）（0.05）mg的药量；如此下去，第n天末，体内残留的药量为（0.90）n（0.05）mg。
要确定药物在体内的累积残留量。我们注意到，在第二次给药时，体内的药量为第二次的剂量0.05mg加上第一次给药此时在体内的残留量（0.90）（0.05）mg；在第三次给药时，体内的药量为第三次给药的剂量0.05mg加上第一次给药此时在体内的残留量（0.90）2（0.05）mg和第二次给药此时在体内的残留量（0.90）（0.05）mg；在任何一次重新给药时，体内的药量为此次给药的剂量0.05mg加上以前历次给药此时在体内的残留量。
每一次重新给药时体内的药量是下列几何级数的部分和
0.05＋（0.90）（0.05）＋（0.90）2（0.05）＋（0.90）3（0.05）＋….
这个级数的和为
．因此病人长期每天服用0.05mg的药物，他体内的药物含量将达到0.5mg。