理解反函数
理解反函数
反函数是数学中的一个重要概念，它描述了函数输入输出关系的逆过程。本文将从定义、求解方法和图像特征等多个角度，深入浅出地讲解反函数的相关知识。
反函数的定义
设函数f : A → B , ∀ b ∈ B , ∃ ! a ∈ A → f − 1 ( b ) = a f: A \rightarrow B, \forall b \in B, \exists! \ a \in A \rightarrow f^{-1}(b) = af:A→B,∀b∈B,∃! a∈A→f−1(b)=a
那么f − 1 : B → A f^{-1}:B \rightarrow Af−1:B→A就是f : A → B f:A \rightarrow Bf:A→B的反函数
其中f 必须是1个双射函数(同时满足单射和满射)
如何求1个函数的反函数
对于简单的具有明确数学式子的函数
例如:
f ( x ) = 2 x + 1 , x ∈ R f(x) = 2x + 1, x \in Rf(x)=2x+1,x∈R
我们可以简单地用数学规则调换一下x 和 f(x)的顺序
f ( x ) = 2 x + 1 f(x) = 2x + 1f(x)=2x+1--------> $-2x = 1 + f(x) $ -------->2 x = f ( x ) − 1 2x = f(x) - 12x=f(x)−1-------->x = f ( x ) 2 − 0.5 x = \frac{f(x)}{2} - 0.5x=2f(x) −0.5
这时把x xx换成f − 1 ( x ) f^{-1}(x)f−1(x), 把 右边的f ( x ) f(x)f(x)换成x xx
就得出反函数的式子
f − 1 ( x ) = 0.5 x − 0.5 f^{-1}(x) = 0.5x - 0.5f−1(x)=0.5x−0.5
反函数的图像和本身函数的图像对于y=x对称
很明显， 上图两个函数直线就是对于 45度直线(y=x)对称
实际上，任何具有反函数的函数图像都有这个性质
例如函数
f ( x ) = x 3 , x ∈ R f(x) = x^3, x \in Rf(x)=x3,x∈R
和其反函数
f ( x ) = x 3 , x ∈ R f(x) = \sqrt[3]{x}, x \in Rf(x)=3x ,x∈R
在图像上也是对于 y=x 对称的
另一个角度来解释非双射函数为何没有反函数
一个函数满足双射条件， 从才能让定义域和陪域里的元素一一对应。 只有一一对应了才可能反过来产生另1个函数。
这个概念并不易理解
我们可以从图像切入
例如函数
f ( x ) = − x 2 , x ∈ R f(x) = -x^2, x \in Rf(x)=−x2,x∈R
它是1个抛物线， 但是我们可以强制画出它对于 y=x 的对称图像
如上图中的橙色图像， 已经不是1个函数了， 因为同1个x, 例如-2, 具有两个不同的y值
这就是为何 只有双射函数才 有反函数
但是， 如果我们调整下定义域
令f : [ 0 , + ∞ ] → [ − ∞ , 0 ] , f ( x ) = − x 2 f:[0,+\infty] \to [-\infty, 0] , f(x) = -x^2f:[0,+∞]→[−∞,0],f(x)=−x2
这时它就变成1个双射函数了
这样的话， 其实这个f(x) 是具有反函数的
f − 1 : [ − ∞ , 0 ] → [ 0 , + ∞ ] , f − 1 ( x ) = − x f^{-1}:[-\infty, 0] \to [0,+\infty] , f^{-1}(x) = \sqrt{-x}f−1:[−∞,0]→[0,+∞],f−1(x)=−x
图像：