实例解读奈奎斯特稳定判据

实例解读奈奎斯特稳定判据

引用

CSDN

1.

https://blog.csdn.net/weixin_41869763/article/details/114278999

奈奎斯特稳定判据是控制系统稳定性分析的重要工具，它通过开环传递函数的特性来判断闭环系统的稳定性，避免了直接求解闭环传递函数的复杂性。本文将通过两个具体实例，详细解读奈奎斯特稳定判据的应用方法。

奈奎斯特判据

奈奎斯特稳定判据的基本公式为：

Z = P − R

其中：

• P 为开环传递函数在虚轴右侧的极点个数
• R 为开环奈奎斯特曲线逆时针绕(-1, j0)的圈数
• Z 为闭环传递函数的极点个数

若 Z = 0，则系统稳定；否则系统不稳定。

例1

1. 计算开环极点，得出在虚轴右侧的极点数P

开环传递函数：

G(s)H(s) = \frac{s}{s^2 + 1} \cdot 1 = \frac{s}{s^2 + 1}

使用MATLAB计算开环极点：

num = [1 0];
den = [1 0 1];
open_root = roots(den);

计算结果：

open_root = 
   0.0000 + 1.0000i
   0.0000 - 1.0000i

开环极点没有在虚轴右侧，故 P = 0。

2. 绘制Nyquist图，逆时针绕(-1, j0)的圈数

使用MATLAB绘制Nyquist图：

num = [1 0];
den = [1 0 1];
open_root = roots(den);
open_sys = tf(num, den);
nyquist(open_sys);

逆时针绕(-1, j0)共 0 圈，即 R = 0。

3. 判断结果

由于 Z = P - R = 0 - 0 = 0，故系统稳定。

4. 验证

系统的闭环传递函数为：

Φ(s) = \frac{G(s)}{1+G(s)H(s)} = \frac{s}{s^2 + s + 1}

使用MATLAB绘制单位阶跃响应：

num = [1 0];
den = [1 1 1];
close_sys = tf(num, den);
step(close_sys);

可见系统振幅逐渐减小，趋于稳定。

例2

1. 计算开环极点，得出在虚轴右侧的极点数P

开环传递函数：

G(s)H(s) = \frac{s-2}{s^3 + 1} \cdot 1 = \frac{s-2}{s^3 + 1}

使用MATLAB计算开环极点：

num = [1 -2];
den = [1 0 0 1];
open_root = roots(den);

计算结果：

open_root =
  -1.0000 + 0.0000i
   0.5000 + 0.8660i
   0.5000 - 0.8660i

有 2 个开环极点在虚轴右侧，故 P = 2。

2. 绘制Nyquist图，逆时针绕(-1, j0)的圈数

使用MATLAB绘制Nyquist图：

num = [1 -2];
den = [1 0 0 1];
open_root = roots(den);
open_sys = tf(num, den);
nyquist(open_sys);

逆时针绕(-1, j0)共 1 圈，即 R = 1。

3. 判断结果

由于 Z = P - R = 2 - 1 ≠ 0，故系统不稳定。

4. 验证

系统的闭环传递函数为：

Φ(s) = \frac{G(s)}{1+G(s)H(s)} = \frac{s-2}{s^3 + s - 1}

使用MATLAB绘制单位阶跃响应：

num = [1 -2];
den = [1 0 1 -1];
close_sys = tf(num, den);
step(close_sys);

可见系统振幅逐渐增大，不稳定。

总结

1. Z 的数学意义是闭环传递函数在右半平面的极点个数，P, R 都是开环传递函数的特性，因此奈奎斯特判据使用开环传递函数即可判断闭环系统的稳定性，避免求解闭环传递函数及闭环传递函数的根。由 Z 的实际意义，容易理解 Z = 0 时闭环系统自然稳定。

2. 使用奈奎斯特判据，分三步走：

• 一是判断写出开环传递函数并计算在虚轴右侧的极点个数 P
• 二是绘制出Nyquist图并数出逆时针绕(-1, j0)点的圈数 R
• 三是计算 Z = P - R，若 Z = 0 则系统稳定，否则系统不稳定

需要注意的是，由于手工往往只画出一半的Nyquist图，另一半关于实轴对称，此时数得包含(-1, j0)的圈数 N 应乘以 2，即 Z = P - 2N。