普朗克黑体辐射定律：从经典物理到量子理论的革命性突破
普朗克黑体辐射定律：从经典物理到量子理论的革命性突破
普朗克黑体辐射定律是现代物理学中的一个基础性定律，它描述了黑体在热平衡状态下发射电磁辐射的谱密度。这一发现不仅解决了19世纪末物理学中的一个重大难题，还为量子理论的诞生奠定了基础。本文将从定律的定义、历史发展、数学推导及其在现代物理学中的应用等方面，全面介绍这一重要定律。
图 1：普朗克定律准确描述了黑体辐射。这里展示的是不同温度下的一组曲线。经典（黑色）曲线在高频率（短波长）下与观测到的强度偏离。
普朗克定律的基本定义
在物理学中，普朗克定律（也称为普朗克辐射定律）描述了在给定温度 (T) 下，黑体在热平衡状态下发射的电磁辐射的谱密度。当黑体与其环境之间没有物质或能量的净流动时，其辐射特性遵循普朗克定律。
在19世纪末，物理学家无法解释为什么已经准确测量的黑体辐射谱在高频率处与现有理论预测的谱有显著的偏离。1900年，德国物理学家马克斯·普朗克通过启发式推导得出了一个公式，解释了观测到的谱，假设在含有黑体辐射的腔体中，假设的电荷振荡器只能以最小增量 (E) 改变其能量，该增量与其相关电磁波的频率成正比。虽然普朗克最初认为将能量分成增量的假设只是为了得到正确答案的数学技巧，但其他物理学家，包括阿尔伯特·爱因斯坦，在他的基础上进行了进一步发展，普朗克的洞察力现在被认为对量子理论具有根本性的重要性。
普朗克定律的数学表达式
每个物体都会自发且持续地发射电磁辐射，物体的谱辐射强度 (B_\nu) 描述了特定辐射频率下，每单位面积、每单位立体角和每单位频率的谱发射功率。普朗克辐射定律给出的关系表明，随着温度的升高，物体辐射的总能量增加，且辐射谱的峰值会向短波长方向移动。根据普朗克分布定律，在给定温度下，谱能量密度（单位体积每单位频率的能量）由下式给出：
[ u_\nu(\nu, T) = \frac{8 \pi h \nu^3}{c^3} \cdot \frac{1}{\exp \left( \frac{h \nu}{k_{\mathrm{B}} T} \right) - 1}~ ]
或者，该定律可以表示为物体在绝对温度 (T) 下，频率为 (\nu) 的谱辐射强度：
[ B_\nu(\nu, T) = \frac{2 h \nu^3}{c^2} \cdot \frac{1}{\exp \left( \frac{h \nu}{k_{\mathrm{B}} T} \right) - 1}~ ]
其中 (k_{\mathrm{B}}) 是玻尔兹曼常数，(h) 是普朗克常数，(c) 是介质中的光速，无论是物质还是真空。谱辐射强度 (B_\nu) 的cgs单位是 (\text{erg} \cdot \text{s}^{-1} \cdot \text{sr}^{-1} \cdot \text{cm}^{-2} \cdot \text{Hz}^{-1})。术语 (B) 和 (u) 通过因子 (\frac{4 \pi}{c}) 相关，因为 (B) 与方向无关且辐射以光速 (c) 传播。谱辐射强度也可以按单位波长 (\lambda) 表示，而不是按单位频率。此外，该定律还可以用其他术语表示，例如在某个波长下发射的光子数，或辐射体积内的能量密度。
黑体辐射的性质
黑体是一个理想化的物体，能够吸收和发射所有频率的辐射。在接近热力学平衡的状态下，发射的辐射可以通过普朗克定律精确描述。由于其依赖于温度，普朗克辐射被称为热辐射，这意味着物体的温度越高，它在每个波长上发射的辐射越多。
普朗克辐射在一个与物体温度相关的波长处具有最大强度。例如，在室温下（约300K），物体发出的热辐射主要是红外线，并且是不可见的。在较高的温度下，红外辐射的数量增加并可以感受到热量，同时发射更多的可见辐射，物体呈现可见的红色光。在更高的温度下，物体变为明亮的黄色或蓝白色，并发射大量短波长的辐射，包括紫外线甚至X射线。太阳的表面（约6000K）发射大量的红外线和紫外线辐射，其发射在可见光谱中达到峰值。由于温度变化引起的这种变化被称为维恩位移定律。
普朗克辐射是任何处于热平衡状态的物体从其表面发射的最大辐射量，无论其化学成分或表面结构如何。辐射穿过介质之间的界面时，可以通过界面的发射率来表征（实际辐射强度与理论普朗克辐射强度的比值），通常用符号 (\epsilon) 表示。发射率通常依赖于化学成分、物理结构、温度、波长、传输角度和偏振状态。自然界面上，发射率总是在 (\epsilon = 0) 和 (\epsilon = 1) 之间。
普朗克定律的历史发展
普朗克定律的历史可以追溯到19世纪中叶，当时巴尔福·斯图尔特和古斯塔夫·基尔霍夫分别通过实验和理论研究，为黑体辐射的研究奠定了基础。斯图尔特通过实验发现，灯烟黑表面辐射出最多的热辐射，不论辐射的质量如何，经过不同的过滤器测量得出。基尔霍夫进一步指出，这意味着任何处于热力学平衡的腔体，其辐射频率作为光谱辐射强度的函数，必须是温度的唯一普遍函数。
然而，直到1900年，普朗克才提出了描述黑体辐射的精确数学表达式。他通过假设能量只能以量子的形式存在，成功解释了黑体辐射的实验数据。这一发现不仅解决了经典物理学中的紫外灾难问题，还为量子理论的诞生开辟了道路。
普朗克定律的物理意义
普朗克定律的量子理论解释将辐射视为在热力学平衡中的无质量、无电荷的玻色子粒子气体，即光子。光子被视为电荷粒子之间电磁相互作用的载体。光子的数量不是守恒的。光子会在适当的数量和能量下被创造或湮灭，以使腔体充满普朗克分布。在热力学平衡中的光子气体，其内部能量密度完全由温度决定；此外，压力也完全由内部能量密度决定。这与物质气体的热力学平衡不同，在物质气体中，内部能量不仅由温度决定，而且还独立地由不同分子的数量决定，且不同分子具有不同的特性。在给定温度下，对于不同的物质气体，压力和内部能量密度可以独立变化，因为不同的分子可以独立地承载不同的激发能量。
普朗克定律是玻色-爱因斯坦分布的一个极限，后者是描述热力学平衡中非交互作用玻色子的能量分布。在无质量玻色子（如光子和胶子）的情况下，化学势为零，玻色-爱因斯坦分布就简化为普朗克分布。还有另一种基本的平衡能量分布：费米-狄拉克分布，它描述了热力学平衡中的费米子，如电子。两种分布的不同之处在于，多个玻色子可以占据相同的量子态，而多个费米子不能。在低密度的情况下，每个粒子可用的量子态数量较大，这种差异变得无关紧要。在低密度极限下，玻色-爱因斯坦分布和费米-狄拉克分布都会简化为麦克斯韦-玻尔兹曼分布。
普朗克定律的推导过程
普朗克定律的推导基于一个边长为 (L) 的立方体，立方体的墙壁是导电的，内部充满了在温度 (T) 下处于热平衡的电磁辐射。如果其中一个墙壁上有一个小孔，那么从孔中发出的辐射将具有完美黑体的特征。我们将首先计算立方体内的光谱能量密度，然后确定发射辐射的光谱辐射强度。
在立方体的墙壁上，电场的平行分量和磁场的正交分量必须为零。类似于箱中粒子的波函数，可以发现这些场是周期函数的叠加。与墙壁正交的三个方向上的波长 (\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3) 可以表示为：
[ \lambda_i = \frac{2L}{n_i},~ ]
其中 (n_i) 是正整数。对于每一组整数 (n_i)，都有两个线性无关的解（称为模式）。每一组 (n_i) 对应的两个模式与光子的两个偏振状态相关，光子的自旋为1。根据量子理论，模式的总能量由下式给出：
[ E_{n_1, n_2, n_3}(r) = \left( r + \frac{1}{2} \right) \frac{hc}{2L} \sqrt{n_1^2 + n_2^2 + n_3^2}.~ ]
其中 (r) 可以解释为该模式中的光子数。对于 (r = 0)，模式的能量并不为零。电磁场的这种真空能量就是卡西米尔效应的原因。接下来，我们将计算在绝对温度 (T) 下盒子的内能。
根据统计力学，特定模式的能量级的平衡概率分布由以下公式给出：
[ P_r = \frac{e^{-\beta E(r)}}{Z(\beta)},~ ]
其中我们使用倒温度定义：
[ \beta \stackrel{\mathrm{def}}{=} \frac{1}{k_B T}.~ ]
分母 (Z(\beta)) 是单个模式的配分函数。它使得 (P_r) 被正确归一化，并且可以计算为：
[ Z(\beta) = \sum_{r=0}^{\infty} e^{-\beta E(r)} = \frac{e^{-\beta \varepsilon / 2}}{1 - e^{-\beta \varepsilon}},~ ]
其中，
[ \varepsilon = \frac{hc}{2L} \sqrt{n_1^2 + n_2^2 + n_3^2},~ ]
是单个光子的能量。可以从配分函数中得到模式的平均能量：
[ \langle E \rangle = -\frac{d \log\left(Z\right) }{d \beta} = \frac{\varepsilon}{2} + \frac{\varepsilon}{e^{\beta \varepsilon} - 1}.~ ]
这个公式，除了第一个真空能量项外，是遵循玻色-爱因斯坦统计的粒子的一个特例。由于光子的总数没有限制，因此化学势为零。
如果我们将能量相对于基态进行测量，盒子中的总能量通过对所有允许的单光子态求和 (\langle E \rangle - \frac{\varepsilon}{2}) 来得到。通过在热力学极限下（当 (L) 趋近于无穷大时）精确计算这一结果是可行的。在这个极限下，(\varepsilon) 变为连续，我们可以对这个参数上的 (\langle E \rangle - \frac{\varepsilon}{2}) 进行积分。为了以这种方式计算盒子中的能量，我们需要评估给定能量范围内的光子态的数量。如果我们将单光子状态的总数写为 (g(\varepsilon) d\varepsilon)，其中 (g(\varepsilon)) 是态密度（将在下文计算），那么总能量由以下公式给出：
[ U = \int_0^\infty \frac{\varepsilon}{e^{\beta \varepsilon} - 1} g(\varepsilon) d\varepsilon.~ ]
为了计算态密度，我们将公式（2）重写为：
[ \varepsilon = \frac{hc}{2L} n,~ ]
其中 (n) 是向量 (n = (n_1, n_2, n_3)) 的模。
对能量范围 (d\varepsilon) 对应于 (n)-空间中厚度为 (dn = \frac{2L}{hc} d\varepsilon) 的壳。由于 (n) 的分量必须为正，这个壳在球体的一个八分之一区域内扩展。能量范围 (d\varepsilon) 内的光子状态数 (g(\varepsilon) d\varepsilon) 因此给出：
[ g(\varepsilon),d\varepsilon = 2 \times \frac{1}{8} \times 4\pi n^2,dn = \frac{8\pi L^3}{h^3 c^3} \varepsilon^2,d\varepsilon.~ ]
将此代入公式（3），并除以体积 (V = L^3)，得到总能量密度：
[ \frac{U}{V} = \int_0^\infty u_{\nu}(T),d\nu,~ ]
其中，频率依赖的谱能量密度 (u_{\nu}(T)) 给出为：
[ u_{\nu}(T) = \frac{8\pi h \nu^3}{c^3} \frac{1}{e^{h\nu / k_B T} - 1}.~ ]
由于辐射在所有方向上都是相同的，并且以光速传播，因此从小孔射出的辐射的谱辐射度为：
[ B_{\nu}(T) = \frac{u_{\nu}(T) c}{4\pi},~ ]
这给出了普朗克定律：
[ B_{\nu}(T) = \frac{2h \nu^3}{c^2} \frac{1}{e^{h\nu / k_B T} - 1}.~ ]
通过在总能量积分中变换变量，可以得到定律的其他形式。上述推导基于 Brehm & Mullin 1989。
普朗克定律在现代物理学中的应用
普朗克定律不仅是描述黑体辐射的基础定律，还在现代物理学的多个领域中发挥着重要作用。例如，在天体物理学中，普朗克定律被用来分析恒星和其他天体的辐射特性，帮助科学家了解宇宙中各种天体的物理性质。在量子光学中，普朗克定律是理解光子与物质相互作用的基础。此外，普朗克定律还在激光技术、红外探测、热成像等领域有着广泛的应用。
总结
普朗克黑体辐射定律不仅是物理学中的一个基础性定律，更是量子理论诞生的重要里程碑。它不仅解决了经典物理学中的一个重大难题，还为现代物理学的发展开辟了新的道路。通过对普朗克定律的深入理解，我们可以更好地认识宇宙中各种辐射现象的本质，为科学研究和技术发展提供重要的理论支持。