三门问题详解：用条件概率证明换门胜率更高
三门问题详解：用条件概率证明换门胜率更高
三门问题，又称蒙提霍尔问题，是概率论中的经典案例。它源自一个电视游戏节目：参赛者在三扇门中选择一扇，其中一扇门后是汽车，其余两扇是山羊。在参赛者选定一扇门后，主持人会打开另一扇有山羊的门，然后问参赛者是否要改变最初的选择。这个问题看似简单，却蕴含深刻的概率原理。本文将通过条件概率、全概率和贝叶斯公式，严谨推导出换门和不换门两种策略下的胜率。
1. 问题介绍
三门问题，又叫蒙提霍尔问题（Monty Hall problem），以下是蒙提霍尔问题的一个著名的叙述，来自Craig F. Whitaker于1990年寄给《展示杂志》（Parade Magazine）玛丽莲·沃斯·莎凡特（Marilyn vos Savant）专栏的信件：
假设你正在参加一个游戏节目，你被要求在三扇门中选择一扇：其中一扇后面有一辆车；其余两扇后面则是山羊。你选择了一道门，假设是一号门，然后知道门后面有什么的主持人，开启了另一扇后面有山羊的门，假设是三号门。他然后问你：“你想选择二号门吗？”变换你的选择对你来说是一种优势吗？
2. 事件定义
不失一般性，假设我们最初选择1号门，然后主持人打开3号门。定义事件如下：
- A1 = 汽车在1号门后
- A2 = 汽车在2号门后
- A3 = 汽车在3号门后
- B3 = 主持人打开3号门
根据题意不难得到：
P(A1) = P(A2) = P(A3) = 1/3
如果汽车在1号门后，那么主持人可以选择打开2号门或3号门。主持人打开3号门的概率是二分之一，此时：P(B3|A1) = 1/2
如果汽车在2号门后，主持人只能打开3号门（因为门1是你选的，门2有汽车），此时：P(B3|A2) = 1
如果汽车在3号门后，主持人不会打开3号门，此时：P(B3|A3) = 0
计算概率
如果我们选择换门，则赢得汽车的概率就等于主持人打开3号门后，汽车在2号门的概率，即：P(A2|B3)。
根据贝叶斯公式：
P(A|B) = P(B|A)P(A) / P(B)
P(A2|B3) = P(B3|A2)P(A2) / P(B3)
= P(B3|A2)P(A2) / ∑(i=1 to 3) P(B3|Ai)P(Ai)
= (1/3) / (1/2)
= 2/3
相似的，如果我们选择不换门，则赢得汽车的概率就等于主持人打开3号门后，汽车还在1号门后的概率：
P(B3|A1) = P(B3|A1)P(A1) / P(B3)
= 1/3
总结，选择换门，赢得汽车的概率是2/3，选择不换，赢得汽车的概率是1/3，所以果断换门。