微分的几何意义

微分的几何意义

微分是高等数学中的一个重要概念，它不仅在数学理论中占据核心地位，也在物理学、工程学等多个领域有着广泛的应用。本文将通过几何直观的方式，帮助读者理解微分的本质及其几何意义。

在直角坐标系中，函数(y=f(x))的图形是一条曲线。对于某一固定的(x_0)值，曲线上有一个确定点(M(x_0，y_0))。当自变量 (x) 有微小增量(\Delta x)时，就得到曲线上另一点(N \left( x _ { 0 } + \Delta x , y _ { 0 } + \Delta y \right))。

从图中可以看出：
[MQ = \Delta x ]
[QN = \Delta y ]

过点M作曲线的切线MT，它的倾角为(\alpha)，则：
[Q P = M Q \cdot \tan \alpha = \Delta x \cdot f ^ { \prime } \left( x _ { 0 } \right) ]

即：
[\mathrm { d } y = Q P ]

由此可见，对于可微函数(y = f ( x ))而言，当(\Delta y)是曲线(y = f ( x ))上的点的纵坐标的增量时，(dy)就是曲线的切线上点的纵坐标的相应增量。当(| \Delta x |)很小时，(| \Delta y - d y |)比(| \Delta x |)小得多，因此在点 M 的邻近，我们可以用切线段来近似代替曲线段。在局部范围内用线性函数近似代替非线性函数，在几何上就是局部用切线段近似代替曲线段，这在数学上称为非线性函数的局部线性化，这是微分学的基本思想方法之一。这种思想方法在自然科学和工程问题的研究中是经常采用的。

参考文献：《高等数学》同济六版 -> P115