圆锥曲线基础知识详解
圆锥曲线基础知识详解
圆锥曲线是高中数学的重要内容，包括圆、椭圆、双曲线和抛物线四种类型。它们不仅在数学领域有着广泛的应用，还在物理、天文、航海、建筑等多个领域发挥着重要作用。本文将从圆锥曲线的定义、标准方程到具体性质，为你提供一个全面的学习指南。
圆锥曲线_1_基础部分
圆锥曲线_1_基础部分：目录
圆锥曲线_1_基础部分
1 简介
2 圆锥曲线的由来
3 圆锥曲线的定义与标准方程
3.1 圆锥曲线的定义
3.2 圆锥曲线的标准方程
4 椭圆、抛物线、双曲线的另一种定义——焦点准线定义
5 圆锥曲线的性质
5.1 对称性
5.2 基本几何元素的定义
5.3 基本几何元素与标准方程的关系
5.4 双曲线的特殊性质——渐近线
5.4.1 定义与证明
5.4.2 双曲线渐进线的性质
5.5 圆锥曲线的切线
5.5.1 过圆锥曲线上一点的切线
5.5.2 过圆锥曲线外一点做圆锥曲线的切线
5.6 圆锥曲线的一些特殊量的计算
5.6.1 焦点三角形的面积
5.6.2 以一点为中点的弦的求法
5.7 圆锥曲线的统一方程
1 简介
圆锥曲线，最早由古希腊学者梅内克缪斯（Menaechmus）进行了系统性的研究。古希腊数学家阿波罗尼奥斯（Apollonius）的著作《圆锥曲线论》几乎将圆锥曲线的性质网罗殆尽。直到17世纪，帕斯卡和笛卡尔才在这方面取得了新的突破。18世纪，在欧拉等人的努力下，圆锥曲线的现代理论才最终形成。圆锥曲线的理论广泛应用于物理、天文、航海、建筑等多个领域。
基础部分主要介绍圆锥曲线的基本几何性质和代数性质，适合高中生学习，也可供需要应用圆锥曲线相关知识的人员查阅。
2 圆锥曲线的由来
圆锥曲线亦称为圆锥截线，简称锥线。是一类重要的平面二次曲线。它是由不过圆锥顶点的平面与圆锥面相交而成的曲线。
设圆锥的半顶角为α，截面与圆锥的轴所成的角为θ，截面不过锥顶：
当θ ∈ [0, α)时，截面和圆锥的两条母线平行，交线是双曲线；
当θ = α时，截面和圆锥的一条母线平行，交线是抛物线；
当θ ∈ (α, π/2)时，截面和圆锥的每一条母线都相交，交线是椭圆；
当θ = π/2时，界面与圆周轴线垂直，交线是圆。
如果截面过锥顶：
- 当θ ∈ [0, α)时，截面和圆锥的交于两相交直线，此时交线可以看作是退化的双曲线；
- 当θ = α时，截面和圆锥相切，交于一条直线（圆锥的一条母线），此时交线可以看作退化的抛物线；
- 当θ ∈ (α, π/2]时，截面和圆锥交于一点（圆锥的顶点），此时可以看作退化的椭圆（圆）。
3 圆锥曲线的定义与标准方程
3.1 圆锥曲线的定义
用函数d(A, B)表示平面上两点A, B之间的距离。用函数d(A, l)表示点A到直线l的距离。
圆：平面上到一定点的距离为一定长的点的集合。一中同长。该定点称为圆心，该定长称为圆的半径。
设平面π上一定点为O，定长为r
则该圆为Circle = {X ∈ π | d(X, O) = r}
椭圆：平面上到两定点的距离之和为一定长的点的集合，（该定长大于两定点间的距离）。二定点称为椭圆的焦点。
设平面π上两定点为F1, F2，定长为2a，2a > d(F1, F2)
则该椭圆为Eclipse = {X ∈ π | d(X, F1) + d(X, F2) = 2a}
双曲线：平面上到两定点的距离之差的绝对值为一定长的点的集合，（该定长小于两定点间的距离）。二定点称为双曲线的焦点。
设平面π上两定点为F1, F2，定长为2a，2a < d(F1, F2)
则该双曲线为H = {X ∈ π | |d(X, F1) − d(X, F2)| = 2a}
抛物线：平面上到一定点的距离与到一定直线的距离之比为1的点的集合（定点不在定直线上）。该定点称为抛物线的焦点，该定直线称为抛物线的准线。
设平面为π，定点为F，定直线（准线）为l
则该抛物线为P = {X ∈ π | d(X, F) / d(X, l) = 1}
注意：
- 若2a = d(F1, F2)
- 在椭圆定义下位，退化为线段F1F2
- 在双曲线定义下退化为线段F1F2的中垂线
- 抛物线的定义方式与圆、椭圆、双曲线有些不同，这种不同是有趣的。
3.2 圆锥曲线的标准方程
以下讨论都在一平面上进行，并且在此平面上建立了笛卡尔直角坐标系。
圆的标准方程：设圆心O的坐标为(x0, y0)，半径为r，则圆的方程为(x - x0)² + (y - y0)² = r²
证明：
设圆周上的点X的坐标为(x, y)，则d(X, O) = √((x - x0)² + (y - y0)²)，根据圆的定义有d(X, O) = r，即√((x - x0)² + (y - y0)²) = r，两边平方即得到圆的标准方程。
椭圆的标准方程：设椭圆的两焦点坐标分别为F1 = (-c, 0), F2 = (c, 0)，到此二点的定长为2a，其中a > c > 0；令b = √(a² - c²)。则椭圆的方程为x²/a² + y²/b² = 1
证明：
设椭圆上的点X的坐标为(x, y)，
则d(X, F1) = √((x + c)² + y²)，d(X, F2) = √((x - c)² + y²)
根据椭圆的定义有d(X, F1) + d(X, F2) = 2a
即√((x + c)² + y²) + √((x - c)² + y²) = 2a
等价于√((x + c)² + y²) = 2a - √((x - c)² + y²)
两边平方，得到
(x + c)² + y² = 4a² + (x - c)² + y² - 4a√((x - c)² + y²)