Matlab控制系统工具箱：连续时间模型的创建与分析

Matlab控制系统工具箱：连续时间模型的创建与分析

控制系统工具箱™提供了用于创建线性时不变（LTI）模型的四个基本表示形式的函数：

• 传递函数（TF）模型
• 零极点增益（ZPK）型号
• 状态空间（SS）模型
• 频率响应数据（FRD）模型

将模型数据作为输入，这些函数就能创建对应的模型对象。

创建传递函数模型

传递函数（TF）是LTI系统的频域表示。SISO（single input single output，单输入单输出）传递函数可以用多项式表示：

$$
H(s) = \frac{A(s)}{B(s)} = \frac{a_{1} s^{n} + a_{2} s^{n-1} + \ldots + a_{n+1}}{b_{1} s^{m} + b_{2} s^{m-1} + \ldots + b_{m+1}}
$$

传递函数由其分子和分母多项式指定，并且。在 MATLAB 中，多项式由其系数的向量表示，例如，多项式：

$$
s^{2} + 2 s + 10
$$

是由

[1 2 10]

表示的。

要创建以下表示传递函数的 TF 对象：

$$
H(s) = \frac{s}{s^2+2s+10}
$$

用代码表示如下：

num = [ 1  0 ];       % Numerator: s
den = [ 1  2  10 ];   % Denominator: s^2 + 2 s + 10
H = tf(num,den)

生成传递函数如下：

或者用下列表达式来表示该模型：

s = tf('s');        % Create Laplace variable 创建拉普拉斯变量
H = s / (s^2 + 2*s + 10)

会生成同样的传递函数：

创建零极点增益模型

零极点增益（ZPK）模型是传递函数的因式相乘形式：

$$
H(s) = k \frac{( s - z_{1} ) \ldots ( s - z_{n} )}{( s - p_{1} ) \ldots ( s - p_{m} )}
$$

在这个式子中，k为增益，分子的根为零点，分母的根为极点。

比如要创建这个零极点增益模型：

$$
H(s) = \frac{-2 s}{( s - 2 ) ( s^2 - 2 s + 2 )}
$$

指定零极点和增益如下：

z = 0;                   % Zeros
p = [ 2  1+i  1-i ];     % Poles
k = -2;                  % Gain
H = zpk(z,p,k)

生成模型如下：

同样，对于 TF 模型，也可以用下列有理式来表述：

s = zpk('s');
H = -2*s / (s - 2) / (s^2 - 2*s + 2)

生成结果同上：

创建状态空间模型

状态空间（State-space，SS）模型是 LTI 系统的时域表示：

$$
\frac{dx}{dt} = A x(t) + B u(t) \
y(t) = Cx(t) + Du(t)
$$

其中，x（t）是状态向量，u（t）是输入向量，y（t）是输出轨迹。

状态空间模型是从描述系统动力学的微分方程推导出来的。例如，考虑一个简单电机的二阶常微分方程（ODE）：

$$
\frac{d^2\theta}{dt^2} + 2\frac{d\theta}{dt} + 5\theta = 3I
$$

其中，I是驱动电流（输入），theta是转子角度（输出）。此 ODE 可以以状态空间形式重写为：

$$
\frac{dx}{dt} = Ax + BI
$$

$$
\theta = Cx + DI
$$

要创建此模型，创建ss状态空间矩阵并定义A、B、C、D即可。

A = [ 0  1 ; -5  -2 ];
B = [ 0 ; 3 ];
C = [ 1  0 ];
D = 0;
H = ss(A,B,C,D)

生成结果如下：

创建频率响应数据模型

频率响应数据（FRD）模型允许您将系统的测量或仿真的复杂频率响应存储在 LTI 对象中。然后，可以将此数据用作频域分析和设计目的的替代模型。

例如，假设从频率分析器中获取以下数据：

频率（赫兹）： 10， 30， 50， 100， 500
响应： 0.0021+0.0009i， 0.0027+0.0029i， 0.0044+0.0052i， 0.0200-0.0040i，0.0001-0.0021i

可以使用以下命令创建包含此数据的 FRD 对象：

freq = [10, 30, 50, 100, 500];
resp = [0.0021+0.0009i, 0.0027+0.0029i, 0.0044+0.0052i, 0.0200-0.0040i, 0.0001-0.0021i];
H = frd(resp,freq,'Units','Hz')

结果如下：

频率单位为rad/s。

创建MIMO（多输入多输出模型）

tf, zpk, ss, 和 frd命令可以创建SISO 和 MIMO 两种模型。对于 TF 或 ZPK 模型，通过连接更简单的 SISO 模型来构造 MIMO 模型通常很方便。例如，可以创建 2x2 MIMO 传递函数：

$$
H(s) = \left[ \begin{array}{cc} {1\over s+1} & 0 \ & \ {s+1 \over s^2+s+3} & {-4s \over s+2} \end{array} \right]
$$

用以下代码表示：

s = tf('s');
H = [ 1/(s+1) , 0 ; (s+1)/(s^2+s+3) , -4*s/(s+2) ]

生成结果如下：

分析LTI（线性时不变模型）

控制系统工具箱可以用于分析 LTI 模型。这些功能的范围从简单的I/O大小和顺序查询到复杂的时间和频率响应分析。

例如，可以获取上面指定的 MIMO 传输函数的大小信息：

size(H)

可以使用以下公式计算极点：

pole(H)

可以使用以下命令询问此系统是否稳定：

isstable(H)

最后，可以通过键入以下内容来绘制阶跃响应：

step(H)