三角函数半角公式大全及推导过程

三角函数半角公式大全及推导过程

三角函数半角公式是将正弦、余弦等三角函数的角为一半的表达式。常见的半角公式有：

1. sin(θ/2) = ±√[(1 - cosθ) / 2]
2. cos(θ/2) = ±√[(1 + cosθ) / 2]
3. tan(θ/2) = ±√[(1 - cosθ) / (1 + cosθ)]

推导过程简述：

1. 利用二倍角公式：sin2θ = 2sinθcosθ，将θ替换为θ/2得到sinθ = 2sin(θ/2)cos(θ/2)。
2. 将sinθ用cosθ表示：sin²θ + cos²θ = 1，得到sinθ = √[1 - cos²θ]。
3. 将sinθ代入第一步的公式，得到sin(θ/2)的表达式。
4. 类似地，可以得到cos(θ/2)和tan(θ/2)的表达式。

注意：正负号取决于θ/2所在的象限。

三角函数的半角公式是数学中一个重要的概念，它涉及到正弦、余弦和正切函数在角度减半时的表达方式。这些公式不仅在数学领域有着广泛的应用，而且在物理、工程等其他学科中也有着重要的作用。本文将详细介绍半角正弦、半角余弦和半角正切公式，并展示它们的推导过程。

三角函数半角公式

半角公式主要包括以下几个方面：

• 半角正弦公式：sin(α/2) = ±√[(1 - cosα) / 2]
• 半角余弦公式：cos(α/2) = ±√[(1 + cosα) / 2]
• 半角正切公式：tan(α/2) = ±√[(1 - cosα) / (1 + cosα)]

半角公式推导过程

在推导半角公式之前，我们首先需要了解一些基本的三角恒等式：

• sin2α = 2sinαcosα
• cos2α = cos²α - sin²α = 2cos²α - 1 = 1 - 2sin²α

半角正弦公式的推导

从cos2α的恒等式出发，我们可以推导出sin²α的表达式，进而得到半角正弦公式：

1. 由cos2α = 1 - 2sin²α，我们得到sin²α = (1 - cosα) / 2。
2. 将α替换为α/2，得到sin²(α/2) = (1 - cosα) / 2。
3. 开方得到sin(α/2) = ±√[(1 - cosα) / 2]。

半角余弦公式的推导

利用cos2α + 1 = 2cos²α，我们可以推导出半角余弦公式：

1. 由cos2α + 1 = 2cos²α，我们得到cos²α = (cos2α + 1) / 2。
2. 将α替换为α/2，得到cos²(α/2) = (cosα + 1) / 2。
3. 开方得到cos(α/2) = ±√[(1 + cosα) / 2]。

半角正切公式的推导

半角正切公式可以通过半角正弦和半角余弦公式推导得出：

1. tan(α/2) = sin(α/2) / cos(α/2)。
2. 将半角正弦和半角余弦公式代入，得到tan(α/2) = ±√[(1 - cosα) / (1 + cosα)]。

三角函数的万能公式

除了半角公式，三角函数还有所谓的万能公式，它们可以表示为：

• sin(α) = [2tan(α/2)] / [1 + tan²(α/2)]
• cos(α) = [1 - tan²(α/2)] / [1 + tan²(α/2)]
• tan(α) = [2tan(α/2)] / [1 - tan²(α/2)]

这些公式为解决涉及角度减半的三角函数问题提供了极大的便利。