定积分的几何意义

定积分的几何意义

定积分的几何意义

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定积分的基本意义是求曲线的面积，请看下面引例。

注1：定积分的几何意义和不定积分完全不同，要查看不定积分的几何意义请点击 此处

注2：本文结束的是黎曼积分里的定积分，要查看勒贝格积分的几何意义请点击 此处

例1 利用定积分的定义, 计算定积分 ${\int }_{0}^{1}{\mathrm{e}}^{x}\text{}\mathrm{d}x$.

解 由于 ${\mathrm{e}}^{x}$ 为 $\left[0,1\right]$ 上的连续函数, 故其定积分存在, 因而可以把区间 $\left[0,1\right]$ 分为 $n$ 等分, 即 ${x}_{i}=\frac{i}{n},\mathrm{\Delta }{x}_{i}=\frac{1}{n}\left(i=1,2,\cdots ,n\right)$.

取 ${\xi }_{i}={x}_{i}=\frac{i}{n}\left(i=1,2,\cdots ,n\right)$, 由定积分的定义得

$\begin{array}{rl}S& ={\int }_{0}^{1}{\mathrm{e}}^{x}\text{}\mathrm{d}x=\underset{\lambda \to 0}{lim}\sum _{i=1}^{n}f\left({\xi }_{i}\right)\mathrm{\Delta }{x}_{i}\\ & =\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\sum _{i=1}^{n}{\mathrm{e}}^{\frac{1}{n}}\cdot \frac{1}{n}=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{n}\cdot \left[{\mathrm{e}}^{\frac{1}{n}}+{\mathrm{e}}^{\frac{2}{n}}+\cdots \cdot {\mathrm{e}}^{\frac{n}{n}}\right]\end{array}$

其中 $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{{\mathrm{e}}^{\frac{1}{n}}-1}{\frac{1}{n}}=\underset{x\to 0}{lim}\frac{{\mathrm{e}}^{x}-1}{x}=1$.

该例表明, 用定义计算定积分, 将积分区间采用等距离的划分较为简便, 但 即使如此, 其计算过程仍很繁琐, 所以应寻求其它计算定积分的简便方法.

设 $f\left(x\right)$ 在闭区间 $\left[a,b\right]$ 上连续.

若在 $\left[a,b\right]$ 上 $f\left(x\right)\ge 0$, 则 ${\int }_{a}^{b}f\left(x\right)\mathrm{d}x$ 的值表示以 $y=f\left(x\right)$ 为曲边, 与直线 $x=a,x=b,y=0$ 所围曲边梯形的面积(见图 3-5);

若在 $\left[a,b\right]$ 上 $f\left(x\right)\le 0$, 则 ${\int }_{a}^{b}f\left(x\right)\mathrm{d}x$ 为负值, 其绝对值表示以 $y=f\left(x\right)$ 为曲边, 与直线 $x=a,x=b,y=0$ 所围曲边梯形的面积(见图 3-6);

若在 $\left[a,b\right]$ 上 $f\left(x\right)$ 有正有负, 则 ${\int }_{a}^{b}f\left(x\right)\mathrm{d}x$ 表示由 $y=f\left(x\right),x=a,x=b$, $y=0$ 所围图形在 $x$ 轴上方的面积减去在 $x$ 轴下方的面积之差(见图 3-7).

例2由定积分的几何意义, 求 ${\int }_{1}^{2}\left(x-3\right)\mathrm{d}x$.

解 由于在区间 $\left[1,2\right]$ 上, $f\left(x\right)=x-3<0$, 因此 按照定积分的几何意义, 该定积分表示由曲边 $y=x-3$ 和直线 $x=1,x=2,y=0$ 所围图形面积的负 值, 该图形是底为 1 和 2 , 高为 1 的梯形(见图 3-8), 其 面积为 $\frac{1}{2}\left(1+2\right)\cdot 1=\frac{3}{2}$, 故

${\int }_{1}^{2}\left(x-3\right)\mathrm{d}x=-\frac{3}{2}$

例3利用定积分表示极限

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{\pi }{n}\left(\frac{1}{n}\mathrm{cos}\frac{1}{n}+\frac{2}{n}\mathrm{cos}\frac{2}{n}+\cdots +\frac{n-1}{n}\mathrm{cos}\frac{n-1}{n}+\mathrm{cos}1\right).$

解 原极限 $=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\pi \sum _{i=1}^{n}\left(\frac{i}{n}\mathrm{cos}\frac{i}{n}\right)\cdot \frac{1}{n}$.

易见, 若取 ${x}_{i}=\frac{i}{n}$, 则 $\mathrm{\Delta }{x}_{i}=\frac{1}{n},{\xi }_{i}=\frac{i}{n}\in \left[{x}_{i-1},{x}_{i}\right]$, 原极限 $=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\pi \sum _{i=1}^{n}{\xi }_{i}\mathrm{cos}{\xi }_{i}\mathrm{\Delta }{x}_{i}$.

由此可见, 被积函数应取为 $f\left(x\right)=x\mathrm{cos}x$, 注意到 $f\left(x\right)$ 在 $\left[0,1\right]$ 上连续, 因而是可 积的.

$\text{故有 原极限}=\pi {\int }_{0}^{1}x\mathrm{cos}x\text{}\mathrm{d}x\text{.}$

注 今后可直接计算出上述积分结果为 $\pi \left[\mathrm{sin}1+\mathrm{cos}1-1\right]$.