奇函数与偶函数：定义、性质及图像特征
奇函数与偶函数：定义、性质及图像特征
在数学中，奇函数和偶函数是两类特殊的函数，它们分别具有关于原点和y轴的对称性。本文将通过定义和具体例子，帮助读者理解奇函数和偶函数的概念及其图像特征。
奇函数的定义
对于函数f(x)， 如果x是在f(x) 的定义内， 如果任意x ， 都有f(-x) = -f(x) 那么f(x) 是奇函数
数学表达：
f ( − x ) = − f ( x ) , x ∈ D ( f ) f(-x) = - f(x), x \in D(f)f(−x)=−f(x),x∈D(f)
很简单
在函数图像里， 奇函数都是对于原点对称
奇函数的例子
1. 一次线性函数
例如f ( x ) = 2 x f(x) = 2xf(x)=2x
注意的是，f ( x ) = 2 x + n , n ≠ 0 f(x) = 2x + n, n \neq 0f(x)=2x+n,n=0这个并不是奇函数
明显f ( − 1 ) = − 2 + n f(-1) = -2 + nf(−1)=−2+n和f ( 1 ) = 2 + n f(1) = 2 + nf(1)=2+n并不是相反的值对
2. 3次函数f ( x ) = x 3 f(x) = x^3f(x)=x3
这个也很明显
3. 反比例函数f ( x ) = x − 1 f(x) = x^{-1}f(x)=x−1
4. 正弦函数f ( x ) = x − 1 f(x) = x^{-1}f(x)=x−1
这个波浪线也是原点对称的！
偶函数的定义
对于函数f(x)， 如果x是在f(x) 的定义内， 如果任意x ， 都有f(-x) = f(x) 那么f(x) 是偶函数
数学表达：
f ( − x ) = f ( x ) , x ∈ D ( f ) f(-x) = f(x), x \in D(f)f(−x)=f(x),x∈D(f)
在函数图像里， 偶函数都是对于y轴对称
偶函数的例子
1. 2次函数f ( x ) = x 2 f(x) = x^2f(x)=x2
注意的是f ( x ) = x 2 + n , n ≠ 0 f(x) = x^2 + n, n \neq 0f(x)=x2+n,n=0仍然是偶函数， 因为函数图像上下移动一段距离仍然对于y轴对称
但是f ( x ) = ( x + n ) 2 , n ≠ 0 f(x) = (x+n)^2, n \neq 0f(x)=(x+n)2,n=0就不是偶函数了，左右移动不行
2. 绝对值函数f ( x ) = ∣ x ∣ f(x) = |x|f(x)=∣x∣
3. 余弦函数f ( x ) = cos ( x ) f(x) = \cos(x)f(x)=cos(x)
f ( x ) = cos ( x ) = sin ( x + 2 π ) f(x) = \cos(x) = \sin(x +\frac{2}{\pi})f(x)=cos(x)=sin(x+π2 )
也就将， 正弦函数的图像向左移动半个身位(2 π \frac{2}{\pi}π2 ) , 就由原点对称变成y轴对称， 由奇函数变成偶函数， 由正弦函数变成余弦函数了。