单摆周期问题及摆线等时曲线
单摆周期问题及摆线等时曲线
单摆周期问题及摆线等时曲线是物理学和数学中的经典问题。本文从单摆周期的直观物理现象出发，逐步深入到微积分、微分方程等数学工具的应用，最后介绍了摆线的等时性特性。
单摆周期，直观物理现象
单摆末端小球（摆锤）来回做周期运动，轨迹是圆弧线，从初始最高点到最低点循环往复。从悬挂点的角度看，运动过程是θ0→0→-θ0→0→θ0。这个循环周期T可以通过物理实验测量。伽利略观测到，单摆周期T与摆线长度l的平方根成正比，与最大幅度（θ0）或高度y0无关。
物理理论（唯象理论）简单解释
根据一般的受力分析及量纲分析，单摆周期T应该与重力加速度g相关。时间的量纲是秒（s），加速度量纲是米/秒^2(m/s^2)，所以必须要有（l/g）^0.5这个因子，才能得到秒的量纲。而周期运动，又与圆周期相关，可想到2π循环。所以，周期T大约就是k2π（l/g）^0.5的样子。这就是物理直觉。
尝试估算从θ0→0的时间，这是T/4。根据动量定理、动能定理，及机械能守恒，可以得到三个方程；再根据几何关系，可以得到高度h及路程s（弧长）的信息。根据这5个约束条件方程，估算单摆周期T≈8*（l/g）^0.5。这与教科书上的单摆周期T=2π*（l/g）^0.5有所不同。
伽利略对单摆的研究
伽利略得出的周期因子是8，不是2π。当最大振幅θ0角度很小时，单摆小球的轨迹圆弧线就近似是一条直线，这就简化为“斜坡滑落”问题了。这里切向加速度a=gsinθ。根据几何关系，弦切角是圆心角的一半，即θ=θ0/2。斜坡长度s近似等于弧长lθ0，小角近似sinθ≈θ，再根据运动学公式s=1/2at^2，这就可以求出t=2*（l/g）^0.5，所以周期T=t4=8（l/g）^0.5。
用微积分进一步精确计算周期T
当微积分发明以后，可以更精确地计算周期T。根据t=∫ds/v去精确计算。这里ds=ldθ，就是圆弧长度，v可以根据机械能守恒定律得出v=（2gh）^0.5，后面就是积分运算，要用到三角函数的半角公式及变量代换。最后得到t=π/2√（l/g），周期T=4t。
微分方程的精细描述
若要得到更多的信息，不止是周期T及最低点的最大速度v，就需要列出微分方程去求解。
做受力分析，并应用牛顿第二运动定律F=ma，单摆小球（摆锤）的切线加速度，-mgsinθ=ma，这里角度θ是速度方向（切线方向）与x轴的夹角，正好与悬挂点摆线的夹角θ相等；a是振幅θ的二阶导数与绳长l的乘积。 简单化简，就得到-gsinθ=lθ’’。这个二阶微分方程，比较复杂，没有解析解。用小角近似，sinθ≈θ；令ω=(g/l)^0.5；这样就是标准的简谐运动方程形式，-ω^2θ=θ’’。
一是物理方法猜想特解。 既然是周期运动，那么找一个周期函数比如cosx应该差不多，设θ=Acos（ωt+φ），代回原方程，求导运算是简单的。验证一下，符合方程。再根据恒等式及初始条件求出待定系数，最后得到单摆的周期运动方程是θ=θ0cos（ω*t）。
二是数学方法猜想特征解。 因为有y’’=y的形式，就联想到e指数函数应该可以，所以设特征解y=e^(λt)，还是代回去验证。可以解得λ=±ωi，这是一个虚数解。所以方程的通解就是C1e^ωit+C2e^(-iωt)。根据复数指数形式的欧拉定理e^ix=cosx+isinx，所以待定参数C1=C2。再根据初始条件t=0时，θ=θ0，最后得到θ=θ0cos（ω*t）。这与前面的物理解是一致的，相互验证。数学上用虚数解决了物理上的实数问题。
有了θ（t）的运动方程，就得知更多信息了。比如，这是一个三角函数，所以有最大值，即最大振幅是θ0；这是一个周期函数f（T+t）=f（t），三角函数的周期是2π，所以T=2π/ω=2π*（l/g）^0.5。这比前面的求积分∫ds/v要简单多了。 这个函数对时间t求导数，就得到速度关于时间的函数，即θ’=-θ0sin（ωt）ω。当ωt=π/2，即t=T/4时，速度有最大值是v=lθ0ω，这与机械能守恒定理得到的v=（2g*h）^0.5的结果是一致的。
我们也能知道单摆周期T是与振幅A无关的，只与圆频率ω有关。我们也可以顺便得到位移x（t）及位移y（t）的运动方程。位移x的周期是T，y的周期是T/2。物理上很容易看出循环周期；数学上关于y周期，就是一个倍角公式。
用拉格朗日分析力学列微分方程
单摆小球轨迹是圆弧，绳子拉力与运动方向垂直，不做功；只有重力做功，这是一个保守力系统，应该满足拉氏量的最小作用量原理。拉氏量L=T-V=1/2mv^2-mgh，再根据拉格朗日约束方程形式1，就可以得到微分方程，-gθ=lθ’’。这与前面的牛顿力学方程是一致的，也是个相互验证的过程。
若根据拉格朗日方程形式2列方程，会得到，lθ’^2+gθ^2=C2，这表面形式不一样，但本质是一样的。 倘若对这个方程两边再对时间t求导数，就得到前面的二阶方程了。不过，这个方程的解法不一样，有必要演示一遍。
先根据初始条件，定出参数C2=gθ0^2，简单起见，令ω=（g/l）^0.5，ω＞0。从而，θ’=ω(θ0^2-θ^2)^0.5 ，再用三角函数变量代换求积分，得出θ=θ0sin（ωt+C1） 。初始条件t=0时，θ=θ0，定出C1=π/2。最后得出，θ=θ0*cosωt。这与前面的结果是一致的，殊途同归。
对单摆圆弧线的改进，摆线，等时曲线
前面的计算需要小角近似sinθ≈θ，这样方程才能求解，周期T与振幅A无关。那有没有不需要近似，就能求解，且周期T与振幅A完全无关呢？有，那就是滚轮线。右侧滚轮线挡板的曲线方程是，x=R（α-sinα），y=R-Rcosα。我们让摆线长度l=4R，切合滚轮线挡板的边沿，那么此时释放小球（摆锤），这个轨迹就是摆线，也属于滚轮线，具有等时曲线的性质。当然，这也是最速降线，有且只有一个。
下图中的数学计算及证明，得到摆线轨迹方程，x=R（α+sinα），y=3R+Rcosα。这里面参数R是滚轮的圆半径，α是滚轮滚动的圆心角。
显然，摆线的高点是左侧（-π*R，2R），底（0，4R）,右侧高点（πR，2R）。设摆线的切线与x轴夹角为θ，那么tgθ=dy/dx，代入摆线轨道方程，可得到θ=-α/2。
根据受力分析及牛二定律F=ma，我们得到，mgsinθ=ms’’。 曲线长度s，我们以左侧α=-π为起点，s=∫ds=4R（sin（α/2）+1）。 变量代换u=sin（α/2），我们就得到方程，-gu=l*u’’，这也是标准的简谐运动方程。这里没有近似，l=4R，ω=（g/l）^0.5。
摆线的性质，等时曲线
按照前面的解法步骤，就能得到摆线的运动方程，周期函数s=4R（1-cosωt）。关于曲线路程的循环，0→4R→8R→4R→0。所以，周期T=2π/ω=4π*（R/g）^0.5。摆锤从顶部到底部的时间是T/4。这也比t=∫ds/v的方法要简便。摆线方程求导数，就是速度关于时间t的方程，v=4Rsinωtω，显然当t=T/4时，v取最大，这与机械能守恒得出的底部最大速度v=（2g2R）^0.5也是一致的。
关于摆线的等时性。如果起始点不是α=-π，而是α=-α0，那么运动方程还是一样的，只是最大振幅变化了。s=4R*（1-sin(α0/2)cos（ωt）），圆频率ω还是没变，故周期T没变。即，摆锤从曲线任意点下降到底的时间都是T/4，都相等。
用拉格朗日求极值方法，列出摆线的微分方程
拉氏量L=T-V=1/2ms’^2-(-mgy)， 这里要把y用s表示出来，y=2R[2-(s/4R-1)^2]，根据拉格朗日方程形式1，就能得到-gsin（α/2）=s’’,这与前面的受力分析的结果一致，互相验证。 其实，我们也可以直接列出关于s’’方程。-g（s/4R-1）=s’’。这个方程不太标准，我们化简一下，令ω=（g/4R）^0.5, 那么g=4R*ω^2，从而-ω^2(s-4R)=s’’。
解这个方程，我们设s=Acos（ωt）+c1，根据恒等式及初始条件定出参数c1=4R，A=-4R，最后得到s=4R（1-cosωt）。